הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏מד"ר הומוגנית)
(←‏הרצאה 2 מד"ר הומוגנית ומד"ר לינאריות מסדר ראשון)
שורה 143: שורה 143:
 
**<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
 
**<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
 
**ולבסוף <math>y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
 
**ולבסוף <math>y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
 +
 +
 +
*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>xdy-\left(x\cdot\sin^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0</math>
 +
**<math>y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}</math>
 +
**<math>\varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}</math>
 +
**<math>\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)</math>
 +
**<math>\tan(z)=\ln|x|+c</math>
 +
**<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math>
 +
**<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math>

גרסה מ־13:14, 10 במרץ 2018

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

  • משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
  • בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה f'(x)=0. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
  • לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
  • כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.


נפילה חופשית

  • גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה g=9.82.
  • נסמן בy(t) את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
  • v(t)=y'(t) היא המהירות
  • a(t)=v'(t)=y''(t) היא התאוצה.
  • לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה a(t)=g, הרי התאוצה קבועה.


  • y''(t)=g
  • לכן y'(t)=gt+c_1
  • לכן y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2


  • כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
  • נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן y(0)=0 ולכן c_2=0
  • נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן y'(0)=0 ולכן גם c_2=0.


ריבית דריבית

  • נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה y(t).
  • נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0).
  • אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
    • בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)
    • ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})
    • סה"כ y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)
  • זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
  • האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
  • כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
    • y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)
    • נעביר אגף ונחלק \frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)
  • אם נשאיף t_2\to t_1 נקבל כי y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)
  • כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית y'=r\cdot y כאשר r היא הריבית השנתית.


המשוואה y'=r\cdot y

  • בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
  • מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
  • כעת נשים לב כי:
  • y'-ry=0
  • e^{-rt}(y'-ry)=0
  • (e^{-rt}y)'=0
  • כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה e^{-rt}y=C
  • סה"כ y=Ce^{rt}


  • על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
  • שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.


סדר ומעלה

  • משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
    • המשוואה y''=g היא משוואה מסדר שני.
    • המשוואה y'=ry היא משוואה מסדר ראשון.
  • משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
    • המשוואה (y''')^2+(y')^5=y+sin(t) היא מסדר 3 ומעלה 2.


משוואות פרידות

  • משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה y'=f(y)g(x).
  • נהוג גם להחליף y'=\frac{dy}{dx} ולכן המשוואה תרשם כך dy=f(y)g(x)dx.
  • לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0, כלומר y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}.


  • משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
  • ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
  • f(y)y'=g(x)
  • הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
  • \int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt
  • במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים f(y)dy=g(x)dx, כל אחד לפי המשתנה שלו!


  • לדוגמא נפתור את המשוואה y'=r\cdot y כמשוואה פרידה.
  • ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי \frac{1}{y}dy=rdx.
  • נשים לב כי הנחנו כאן כי y=\neq 0.
  • כעת \int \frac{1}{y}dy=ln|y|.
  • \int rdx=rx.
  • וביחד ln|y|=rx+C.
  • לכן |y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx}.
  • לכן y=\pm e^C\cdot e^{rx}.
  • כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
  • בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) y=Ce^{rx}.


  • שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
  • בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
  • בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.


הפיכת משוואה לפרידה

  • נביט במשוואה y'=(x+y)^2 שאינה משוואה פרידה.
  • נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
  • נגדיר את הפונקציה z=x+y.
  • מתקיים כי z'=1+y' וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה z'-1=z^2.
  • זוהי משוואה פרידה \frac{1}{1+z^2}dz=dx.
  • נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי \arctan(z)=x+C
  • ולכן z=\tan(x+C)
  • ולכן x+y=\tan(x+C)
  • y=\tan(x+C)-x


  • שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו x+C מחוץ לתחום (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}).
  • שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
  • על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
  • אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.


הרצאה 2 מד"ר הומוגנית ומד"ר לינאריות מסדר ראשון

מד"ר הומוגנית

  • פונקציה f(x,y) נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל \lambda\neq 0 מתקיים כי f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y).
  • לדוגמא f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y} הומוגנית מסדר 1.


  • טענה: פונקציה f(x,y) היא מהצורה \varphi(\frac{y}{x}) לכל x\neq 0 אם"ם היא הומוגנית מסדר 0 לכל x\neq 0.
  • הוכחה:
    • אם f(x,y)=\varphi(\frac{y}{x}) אזי לכל x\neq 0 מתקיים f(\lambda x,\lambda y)=\varphi(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphi(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y).
    • אם f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y), נציב \lambda=\frac{1}{x} ונקבל כי f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphi(\frac{y}{x}).


  • מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית) היא משוואה מהצורה y'=f(x,y) כאשר f(x,y) הומוגנית מסדר 0.
  • נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה z=\frac{y}{x} באופן הבא:
    • ראשית נסמן y'=\varphi(\frac{y}{x}).
    • כעת נגזור את שני צידי המשוואה zx=y, ונקבל כי z'x+z=y'.
    • לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה z'x+z=\varphi(z).
    • נפריד את המשתנים \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx.
    • ולכן \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\ln|x|+C.
    • נמצא את z ונציב בחזרה y=zx.


  • דוגמא - נפתור את המשוואה y'=\frac{x^2+y^2}{xy}
    • \varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}
    • \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2}
    • \frac{z^2}{2}=ln|x|+C
    • z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}
    • ולבסוף y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}


  • דוגמא - נפתור את המשוואה xdy-\left(x\cdot\sin^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0
    • y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}
    • \varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}
    • \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)
    • \tan(z)=\ln|x|+c
    • z=\arctan(ln|x|+C)
    • y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מד%22ר_-_משוואות_דיפרנציאליות_רגילות_-_ארז_שיינר&oldid=75253