מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

הרצאה 1 הקדמה

• משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
• בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה $f'(x)=0$. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
• לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
• כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

• נפילה חופשית.
  • גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה $g=9.82$.
  • נסמן ב$y(t)$ את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
  • $v(t)=y'(t)$ היא המהירות
  • $a(t)=v'(t)=y''(t)$ היא התאוצה.
  • לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה $a(t)=g$, הרי התאוצה קבועה.
  • $y''(t)=g$
  • לכן $y'(t)=gt+c_1$
  • לכן $y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2$
• כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
  • נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן $y(0)=0$ ולכן $c_2=0$
  • נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן $y'(0)=0$ ולכן גם $c_2=0$.