מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

• משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
• בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה $f'(x)=0$. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
• לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
• כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

נפילה חופשית

• גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה $g=9.82$.
• נסמן ב$y(t)$ את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
• $v(t)=y'(t)$ היא המהירות
• $a(t)=v'(t)=y''(t)$ היא התאוצה.
• לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה $a(t)=g$, הרי התאוצה קבועה.

• $y''(t)=g$
• לכן $y'(t)=gt+c_1$
• לכן $y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2$

• כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
• נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן $y(0)=0$ ולכן $c_2=0$
• נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן $y'(0)=0$ ולכן גם $c_2=0$.

ריבית דריבית

• נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה $y(t)$.
• נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי $y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)$.
• אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
  • בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית $y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)$
  • ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל $y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})$
  • סה"כ $y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)$
• זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
• האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
• כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
  • $y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)$
  • נעביר אגף ונחלק $\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)$
• אם נשאיף $t_2\to t_1$ נקבל כי $y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)$
• כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית $y'=r\cdot y$ כאשר $r$ היא הריבית השנתית.

המשוואה $y'=r\cdot y$

• בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
• מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
• כעת נשים לב כי:
• $y'-ry=0$
• $e^{-rt}(y'-ry)=0$
• $(e^{-rt}y)'=0$
• כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה $e^{-rt}y=C$
• סה"כ $y=Ce^{rt}$

• על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
• שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.

סדר ומעלה

• משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
  • המשוואה $y''=g$ היא משוואה מסדר שני.
  • המשוואה $y'=ry$ היא משוואה מסדר ראשון.
• משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
  • המשוואה $(y''')^2+(y')^5=y+sin(t)$ היא מסדר 3 ומעלה 2.

משוואות פרידות

• משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה $y'=f(y)g(x)$.
• נהוג גם להחליף $y'=\frac{dy}{dx}$ ולכן המשוואה תרשם כך $dy=f(y)g(x)dx$.
• לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה $f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0$, כלומר $y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}$.

• משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
• ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
• $f(y)y'=g(x)$
• הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
• $\int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt$
• במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים $f(y)dy=g(x)dx$, כל אחד לפי המשתנה שלו!

• לדוגמא נפתור את המשוואה $y'=r\cdot y$ כמשוואה פרידה.
• ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי $\frac{1}{y}dy=rdx$.
• נשים לב כי הנחנו כאן כי $y=\neq 0$.
• כעת $\int \frac{1}{y}dy=ln|y|$.
• $\int rdx=rx$.
• וביחד $ln|y|=rx+C$.
• לכן $|y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx}$.
• לכן $y=\pm e^C\cdot e^{rx}$.
• כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
• בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) $y=Ce^{rx}$.

• שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
• בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
• בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.

הפיכת משוואה לפרידה

• נביט במשוואה $y'=(x+y)^2$ שאינה משוואה פרידה.
• נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
• נגדיר את הפונקציה $z=x+y$.
• מתקיים כי $z'=1+y'$ וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה $z'-1=z^2$.
• זוהי משוואה פרידה $\frac{1}{1+z^2}dz=dx$.
• נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי $\arctan(z)=x+C$
• ולכן $z=\tan(x+C)$
• ולכן $x+y=\tan(x+C)$
• $y=\tan(x+C)-x$

• שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו $x+C$ מחוץ לתחום $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.
• שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
• על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
• אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.

הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי

מד"ר הומוגנית

• פונקציה $f(x,y)$ נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל $\lambda\neq 0$ מתקיים כי $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)$.
• לדוגמא $f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}$ הומוגנית מסדר 1.

• טענה: פונקציה $f(x,y)$ היא מהצורה $\varphi(\frac{y}{x})$ לכל $x\neq 0$ אם"ם היא הומוגנית מסדר $0$ לכל $x\neq 0$.
• הוכחה:
  • אם $f(x,y)=\varphi(\frac{y}{x})$ אזי לכל $x\neq 0$ מתקיים $f(\lambda x,\lambda y)=\varphi(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphi(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)$.
  • אם $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$, נציב $\lambda=\frac{1}{x}$ ונקבל כי $f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphi(\frac{y}{x})$.

• מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה $y'=f(x,y)$ כאשר $f(x,y)$ הומוגנית מסדר $0$.
• נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה $z=\frac{y}{x}$ באופן הבא:
  • ראשית נסמן $y'=\varphi(\frac{y}{x})$.
  • כעת נגזור את שני צידי המשוואה $zx=y$, ונקבל כי $z'x+z=y'$.
  • לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה $z'x+z=\varphi(z)$.
  • נפריד את המשתנים $\frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx$.
  • ולכן $\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\ln|x|+C$.
  • נמצא את $z$ ונציב בחזרה $y=zx$.

• דוגמא - נפתור את המשוואה $y'=\frac{x^2+y^2}{xy}$
  • $\varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}$
  • $\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2}$
  • $\frac{z^2}{2}=ln|x|+C$
  • $z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}$
  • ולבסוף $y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}$

• דוגמא - נפתור את המשוואה $xdy-\left(x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0$
  • $y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}$
  • $\varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}$
  • $\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)$
  • $\tan(z)=\ln|x|+c$
  • $z=\arctan(ln|x|+C)$
  • $y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)$

מד"ר לינארית מסדר ראשון

• הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה $y'+p(x)\cdot y=q(x)$.
• מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה $y'+p(x)\cdot y=0$.
• נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.

• נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית $y'+p(x)\cdot y=0$ היא פרידה.
• נפריד את המשתנים ונקבל $\frac{1}{y}dy=-p(x)dx$.
• נבצע אינטגרציה ונקבל כי $ln|y|=-\int p(x)dx +C$.
• ולכן $y=C\cdot e^{-\int p(x)dx}$

• כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
• נציב במקום המקדם הקבוע $C$ פונקציה $C(x)$, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
• כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה $C(x)$ כך שהמשוואה תתקיים.

• כלומר, נציב $y=C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}$ במשוואה $y'+p(x)y=q(x)$.
• נקבל $C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}-p(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} + p(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x)$
• משוואה זו מתקיימת אם"ם $C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x)$.
• כלומר $C'(x)=q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}$.
• לכן נבחר $C(x)=\int \left[q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right]dx+C$

• סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית $y'+p(x)\cdot y=q(x)$ הוא:

$e^{-\int p(x)dx}\cdot\left(\int\left(q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right)+C\right)$

• דוגמא - המשוואה החביבה עלינו $y'=ry$:
  • ראשית, נשים לב כי $p(x)=-r$ ו$q(x)=0$.
  • כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא $y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}$

נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר

• גוף בעל מסה $m$ נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע $m\cdot g$ ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
• במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע $b\cdot v^2$, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה $bv$.

במהירות גבוהה

• לפי החוק השני של ניוטון $m\cdot a = gm -b\cdot v^2$.
• כלומר $v'=g-\frac{b}{m}v^2$
• נבצע הפרדת משתנים $\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt$
• נבצע פירוק לשברים חלקיים:
• $\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right)$
• ולכן $\int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{g\cdot m}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right|$
• מצד שני $\int dt=t+c$
• לכן $\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}$
• נסדר קצת $v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}}\right)$
• נשים לב שכאשר $t\to\infty$ אנו מתכנסים למהירות הסופית $\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}$.
• אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.

במהירות נמוכה

• לפי החוק השני של ניוטון $m\cdot a = gm -b\cdot v$.
• כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית $v'+\frac{b}{m}v=g$.
• ולכן הפתרון הוא $v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int ge^{\frac{b}{m}t}dt+C\right)=\frac{g\cdot m}{b}+Ce^{-\frac{b}{m}t}$.
• וכאשר $t\to\infty$ המהירות שואפת למהירות הסופית $\frac{g\cdot m}{b}$.

משוואת ברנולי

• משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה $y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n$ עבור $n\neq 0,1$.
• נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
• נניח כי $y\neq 0$, ונחלק ב$y^n$.
• נקבל את המשוואה $\frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x)$.
• נציב $z=y^{1-n}$.
• נגזור $z'=(1-n)\frac{y'}{y^n}$.
• נקבל משוואה לינארית $\frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x)$.
• נפתור עבור $z$ ונציב חזרה לקבל $y=z^{\frac{1}{1-n}}$.

• דוגמא - נפתור את המשוואה $y'-2xy=2x^3y^2$.
  • נציב $z=\frac{1}{y}$.
  • נקבל $-z'-2xz=2x^3$ ולכן $z'+2xz=-2x^3$.
  • לכן $z=e^{-x^2}\cdot\left(\int \left(-2x^3e^{x^2}\right)dx+C\right)$
  • לכן $z=e^{-x^2}\cdot\left(e^{x^2}(1-x^2)+C\right)$
  • לכן $z=1-x^2+Ce^{-x^2}$
  • ולבסוף $y=\frac{1}{1-x^2+Ce^{-x^2}}$

• דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
  • נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
  • $F=-bv-dv^2$ ולכן $v'=-bv-dv^2$ (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
  • זוהי משוואת ברנולי, נציב $z=\frac{1}{v}$.
  • לכן $z'-bz=d$
  • נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
    • $z=e^{bt}\cdot (de^{-bt}+C)=d+Ce^{bt}$
  • ולכן $v=\frac{1}{d+Ce^{bt}}$
  • כמובן שכאשר $t\to\infty$ המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.