{{משל}}
=== משוואות ריקטי ===
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה <math>y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)}</math>, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
==== הוכחה ====
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים <math>y\cdot(cA+B)=ca+b</math> ולכן <math>c(yA-a)-b+yB=0</math>. נגזור את שני האגפים ונקבל <math>c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0</math>. נציג את שתי המשוואות האחרונות בצורה <math>{\color{Blue}\begin{pmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math> ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: <math>\begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0</math>. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־<math>y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0</math>, כדרוש.
==== מקרה 2 ====
<math>x</math> לא מופיעה במד״במד״ר. צורתה <math>F(y,y')=0</math>, ובהצבת <math>z=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(y,z)=0</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\mathrm dzdy}z=\mathrm dx</math> ולכן <math>x=\int\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. לפיכך, אם <math>y=\varphi(z)</math> אזי <math>x=\frac{\varphi(z)}z+\int\frac{\varphi(z)}{z^2}\mathrm dz</math>.
===== תרגיל =====
====== פתרון ======
אחרי הצבה <math>z=y'</math> נקבל <math>x=z\sin(z)</math> ולבסוף <math>y=z\cdot z\sin(z)-\int z\sin(z)\mathrm dz=c+x+z^2\sin(z)+z\cos(z)-\sin(z)</math>. נציב חזרה <math>z=y'</math> וסיימנוונקבל את מקרה 2. {{משל}}
==== מקרה 4 ====
====== פתרון ======
נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=z</math>, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. כמו כן, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+cc_1</math>. עתה, <math>t=\frac{c-x+c}a</math> ולכן <math>y=a\cosh\left(\frac{c-x+c}a\right)</math>. {{משל}}
==== מקרה 5 ====
<math>x</math> מופיעה ו־<math>y</math> לא, כלומר <math>F(x,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. נציב <math>z=y',x=\varphi(t)</math> ולכן <math>F(\varphi(t),z)=0</math>. נסמן <math>z=\psi(t)</math> ונגלה כי <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה ולפי הגדרת <math>\varphi</math> נקבל <math>\begin{cases}y=\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt\\x=\varphi(t)\end{cases}</math>.