מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/6.8.12

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הקיום והיחידות

נתון y'=f(x,y) עם תנאי התחלה y(x_0)=y_0

שיטת פיקארד

מתחילים עם \phi_0(x)=y_0 וממשיכים עם \phi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_{n-1}(t)\right)\mathrm dt. אזי \phi(x)=\lim_{n\to\infty}\phi_{n+1}(x)=y_0+\lim_{n\to\infty}+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_n(t)\right)\mathrm dt.

משפט הקיום והיחידות למערכת מד״ר מסדר ראשון בצורה נורמלית

תהי \vec f(x,\vec y) פונקציה וקטורית רציפה ומקיימת תנאי ליפשיץ ב־\vec y בתיבה B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_k-b_k,y_k+b_k]. אזי למערכת המד״ר \vec y'=\vec f(x,\vec y) יש פתרון אחד ויחיד ב־|x-x_0|<a' כאשר \vec y(x_0)=\vec y_0 ו־a'=\min\left\{a,\frac{b_1}{M_1},\dots,\frac{b_n}{M_n}\right\}. עתה M_k=\max_{(x,y)\in B}|f_k(x,y)|.

הוכחה

נגדיר סדרת פונציות \{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty כך ש־\vec\phi_0=\vec y_0 ו־\vec\phi_{m+1}(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt. לכל |x-x_0|<a' מתקיים

  • הפונקציות \vec\phi_m מוגדרות היטב, כלומר |\phi_{m,k}(x)-y_{0,k}|\le b_k. נוכיח באינדוקציה על m:
    עבור m=0 הטענה טריוויאלית שכן \vec\phi_0(x)=\vec y_0. עתה נניח נכונות עבור m: |\phi_{m+1,k}-y_{0,k}|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt\right|\le|x-x_0|\cdot M_k\le a'M_k\le b_k. לכן \vec\phi_m מוגדרת היטב בתיבה וכן רציפה עבור |x-x_0|\le a' עפ״י ההגדרה.
  • סדרת הפונקציות \{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty מתכנסת במ״ש ב־|x-x_0|<a'. ניתן לכתוב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \phi_{m,k}=\sum_{m=1}^\infty (\phi_{m,k-\phi_{m-1,k})+\phi_{0,k}

. הפונקציה \phi_{0,k} קבועה ולכן הטור מתכנס במ״ש אם הסכום מתכנס במ״ש. מתקיים |\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x\Big(f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big)\mathrm dt\right|\le\int\limits_{x_0}^x\Big|f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big|\mathrm dt. נניח x>x_0 ונסמן S_m(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|. אזי לפי תנאי ליפשיץ |\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|\le K\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt. נסכום על k ואז S_{m+1}(x)\le nK\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt. נסמן K_0=nK, H=\max_{k=1}^n M_i, H_0=nH. נוכיח באינדוקציה נוספת שלכל m מתקיים S_m(x)\le H_0K_0^{m-1}\frac{(x-x_0)^m}{m!}. עבור m=1 נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k(t,\vec y_0)\mathrm dt\right\le H(x-x_0)

ולכן S_1(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|\le nH(x-x_0)=H_0(x-x_0). נניח נכונות עבור m ואז S_{m+1}(x)\le K_0\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt\le K_0\int\limits_{x_0}^x H_0K_0^{m-1}\frac{(t-x_0)^m}{m!}\mathrm dt=H_0K_0^m\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(m+1)!}. כלומר S_m(x)=\sum_{k=1}^n|\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|\le\frac{H_0(K_0a')^m}{K_0m!}. הטור \sum_{m=1}^\infty \frac{K_0a')^m}{m!} מתכנס ל־\mathrm e^{K_0a'}-1 ולכן סדרת הפונקציות \{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty מתכנס במ״ש עבור |x-x_0|\le a' לפונקציה \vec\phi.
  • \vec\phi פתרון של המד״ר: לפי ההגדרה \vec\phi_m(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,t\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt. נשאיף m\to\infty ואז \vec\phi(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x \vec f(t,\vec\phi(t))\mathrm dt. אזי \vec\phi'(x)=\vec f(x,\vec\phi(x)) ולכן \vec y=\vec\phi(x) פתרון של המד״ר.


……… הערה: \phi_{m+1}-\phi_m=\int f(t,\vec\phi_m(t))\mathrm dt-\int f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt וכן f(t,\vec\phi_m(t))-f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\le ………

………