מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הערה: אינטגרל לא מסוים המסומן ב־\int הוא הצורה הכללית לפונקציות הקדומות לאינטגרנד, כלומר מוסיפים קבוע (למשל: \int x\mathrm dx=\frac{x^2}2+c). לעומת זאת, \sim\!\!\!\!\!\!\int נותן פונקציה קדומה אחת בלבד, ללא c (למשל: \sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dx=\frac{x^2}2). נעיר שאינטגרל כזה לא תמיד מוגדר היטב, אבל זה לא משנה לצרכנו כל עוד נבחר אותו קבוע לכל הופעה של האינטגרל.

משפטים חשובים

  • תזכורת: נאמר שפונקציה f מקיימת את תנאי ליפשיץ אם \exists k>0:\ \forall x_1,x_2:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|. פונקציה גזירה היא ליפשיץ אם״ם הנגזרת שלה חסומה.
  • משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי \mathbf f(x,\mathbf y) פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־\mathbf y בתיבה B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k], ונתונים תנאי ההתחלה \mathbf y(x_0)=\mathbf y_0. אזי למערכת \mathbf y'=\mathbf f(x,\mathbf y) יש פתרון אחד בדיוק בקטע |x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\mathbf y)\in B}|f_k(x,\mathbf y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right).
  • כל מד״ר מסדר n שקולה למערכת של n מד״ר מסדר 1: F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

שיטות לפתרון מד״ר

מד״ר מסדר 1

  • מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0. אם \exists y_0:\ N_1(y_0)=0 אזי y\equiv y_0 פתרון, ואם \exists x_0:\ M_2(x_0)=0 אזי x\equiv x_0 פתרון. אחרת \int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0.
  • נתונה מד״ר y'=f(ax+by). אז נציב z=ax+by ו־y'=\frac{z'-a}b.
    • הכללה: נתונה מד״ר y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right) . אם \begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0 נציב \begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases} כאשר \begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix} ונקבל q_p'=g\!\left(\frac qp\right). אחרת נבחר \lambda=\frac Aa=\frac Bb ונציב z=ax+by.
  • מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר y'=f\!\left(\frac yx\right). אזי נציב z=\frac yx ו־y'=z'x+z.
  • מד״ר לינארית: נתונה מד״ר y'+p(x)y=q(x). אם היא לינארית־הומוגנית אזי y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}, ובכל מקרה y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx.
  • משוואת ברנולי: נתונה מד״ר y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1. נציב z=y^{1-n}, כאשר אם n>1 אז y\equiv0 פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־\pm\infty), אם 0<n<1 אז פתרון סינגולרי, ואם n<0 אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}.
  • מד״ר מהצורה P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0 היא מדויקת אם״ם יש U כך ש־\mathrm dU שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
    • אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־\mu כך שתהפוך למדויקת. \mu תלויה רק ב־x אם״ם a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q תלויה רק ב־x, ואז \mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}. היא תלויה רק ב־y אם״ם b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P תלויה רק ב־y, ואז \mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}.
  • משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0. הפתרון הכללי הוא מהצורה y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}. אם y(x)\equiv y_p(x) פתרון אזי y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1} הפתרון הכללי.
  • נתונה מד״ר \sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0 ממעלה n. אזי קיימות פונקציות f_k שעבורן \prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0.
  • אם F(y,y')=0 נציב p=y' ואז x=\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp. לחלופין, אם y=\varphi(t) ו־p=\psi(t) אזי x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt.
  • אם F(x,y')=0 נציב p=y' ואז y=px-\int x\mathrm dp. לחלופין, אם x=\varphi(t) ו־p=\psi(t) אזי y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt.
  • שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה \begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}. נבחר פונקציה \varphi_0 שעבורה \varphi_0(x)\equiv y_0, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת \varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים), \varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n היא פתרון של הבעיה.
  • משוואת קלרו: נתונה המד״ר y=xy'+\psi(y'). אזי y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R או (כאשר p:=y') \begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}.
  • משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר y=x\varphi(y')+\psi(y') עבור \varphi(y')\not\equiv y'. נציב p:=y' ואז p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}. לפיכך הפתרון הכללי הוא \begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\displaystyle\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases} או y=p_i x+\psi(p_i) לכל p_i כך ש־p_i=\varphi(p_i).

מד״ר מסדר 2

  • בהנתן מד״ר y''=f(x,y') או y''=f(y,y') נציב p=y' ונקבל p'=f(x,p) או pp_y'=f(y,p), בהתאמה. מתקיים x=\int\frac{\mathrm dy}p=\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp ו־y=\int p\mathrm dx.

מד״ר לינארית

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x).

  • אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
    • אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות n מימדי.
  • ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות y_1,\dots,y_n מגדירים W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}.
    • אם y_1,\dots,y_n ת״ל אזי W(x)\equiv0.
    • אם y_1,\dots,y_n פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום D וכן \exists x_0\in D:\ W(x_0)=0 אזי הם ת״ל.
  • משפט ליוביל: אם y_1,\dots,y_n פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי \forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}.
  • הפתרון הכללי של המד״ר הוא y=y_h+y_p, כאשר y_h הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־y_p פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
  • וריאציית הפרמטרים: נתונים y_1,\dots,y_n פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא \sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx כאשר \begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}. באופן שקול: c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}, כאשר W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}.
  • נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב y=\mathrm e^{rx}, ולכן y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx} וגם r^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_k r^k (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם r_1,\dots,r_m והריבויים שלהם d_1,\dots,d_m בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}x^i. אם r_k אינו ממשי ניתן לכתוב r_k=\alpha+\beta\mathrm i ואז, כיוון ש־\overline{r_k} שורש עם אותו ריבוי, נציב C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\Big).
  • שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k, כאשר \lambda קבועה, והריבוי של \lambda בפולינום האופייני הוא d (במידה ו־\lambda לא שורש נאמר d=0). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה \mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k כאשר b_m,B_m\ne0. הערה: אם f(x)=g(x)+h(x) נוכל לפתור עבור g(x),h(x) בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.
  • משוואת אוילר(–לגראנג׳) היא מד״ר לינארית מהצורה (x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x) עם \forall k:\ a_k=\text{const.}. מציבים x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x>x_0\\-\mathrm e^t,&x<x_0\end{cases} במד״ר ההומוגנית ואז y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots. נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב y=(x-x_0)^r במד״ר ההומוגנית ולקבל r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0 (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם r_1,\dots,r_m והריבויים שלהם d_1,\dots,d_m בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0). אם r_k אינו ממשי ניתן לכתוב r_k=\alpha+\beta\mathrm i ואז, כיוון ש־\overline{r_k} שורש עם אותו ריבוי, נחליף את C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}} ב־(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big).
  • אם f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0) כאשר \lambda קבועה, והריבוי של \lambda במשוואה האינדיציאלית הוא d (אם לא שורש d=0). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה (x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0) כאשר b_m,B_m\ne0.
  • התמרת לפלס ההפוכה: עבור c כך ש־c>\mbox{Re}(s_i) לכל קוטב s_i של g, מתקיים \mathcal L^{-1}[g](t)=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathrm e^{c+\mathrm ist}g(s)\mathrm ds.
  • נניח שמקדמי המד״ר קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את \mathcal L[y] (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.

פתרון באמצעות טורי חזקות

  • נתונה מד״ר מהצורה y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x) כאשר \forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b) ותהי x_0\in(a,b). אם f וכל המקדמים a_k אנליטיים סביב x_0 עם רדיוס התכנסות R או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב x_0 של המד״ר עם רדיוס התכנסות R או יותר.
  • טור פרוביניוס הוא טור מהצורה (x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k.
  • שיטת פרוביניוס: בהנתן a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0 נחלק ב־a_2(x). תהי x_0 נקודה סינגולרית של \frac1{a_2(x)}. אם קיימים הגבולות L_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\frac{a_1(x)}{a_2(x)},L_2=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)} הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת x_0 נקבל (x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_2+o(1))y=0. לפי משפט, אם x_0 נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב x_0 בצורת בצורת טור פרוביניוס. נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם o(1)=0 ע״י הצבת y=(x-x_0)^r, ואם פתרונות הפולינום הם r_1,r_2 אזי יש שני פתרונות פרטיים בת״ל מהצורה y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\} כאשר r_1-r_2\not\in\mathbb Z ו־y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{i=0}^\infty b_{1,i}(x-x_0)^i,y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i כאשר r_1-r_2\in\mathbb Z ומתקיים בה״כ r_1\ge r_2. נציב אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.
    הערה: נאמר ש־f\in o(g) אם \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0. לעתים כותבים "o(1)" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.
  • פונציית גמא: \forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt. היא מקיימת \Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x) וגם \forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל x\in\mathbb R\setminus(-\mathbb N\cup\{0\}) ע״י \Gamma(x-1)=\frac{\Gamma(x)}{x-1}. ערך חשוב: \Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi.
  • פונקציית בסל (מסוג ראשון): J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{k!\Gamma(m+k+1)}\left(\frac x2\right)^{2k+m} כאשר m היא דרגת הפונקציה.
  • משוואת בסל: x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0. מתקיים y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0 ולכן \lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2, כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם \pm m ולכן אם m\not\in\frac12\mathbb Z אז הפתרון הכללי הוא c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x). אחרת הפתרון הכללי הוא c_1J_m(x)+c_2Y_m(x) כאשר Y_m(x)=\lim_{m'\to m}\frac{J_{m'}(x)\cos(\pi m')-J_{-m'}(x)}{\sin(\pi m')} (זו פונקציית בסל מסוג שני).

מערכות מד״ר

  • שיטת ההצבה: נתונה המערכת \begin{cases}y_1'=g(y_1,y_2)\\y_2'=h(y_1,y_2)\end{cases}. אזי \frac{\mathrm dy_1}{\mathrm dy_2}=\frac{g(y_1,y_2)}{h(y_1,y_2)} ולכן ניתן למצוא את y_1 כתלות ב־y_2 או להפך. את הפתרון נותר להציב במערכת ולפתור שתי מד״ר נפרדות.
מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא \mathbf y'=\mathbf{Ay}+\mathbf f כאשר \lambda_i הם הע״ע של \mathbf A (i\in\{1,\dots,n\}. ייתכן שחלק מהע״ע שווים), ו־\mathbf v_i הם הו״ע המתאימים להם, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\} צריכים לפרוש את \mathbb C^n מעל השדה \mathbb C).

  • לכל i, \mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x} פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימה.
  • תזכורת: מטריצה \mathbf A לכסינה אם״ם קבוצת הו״ע שלה היא \mathbb C^n, מה שמתקיים אם״ם הריבוי האלגברי של כל ע״ע שווה לריבויו הגיאומטרי. תנאי מספיק (אך לא הכרחי) לכך הוא שכל הע״ע שונים.
  • אם המערכת הומוגנית ו־\mathbf A לכסינה אז \mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x} הוא הפתרון הכללי.
  • אם \mathbf A לכסינה נסמן ב־\mathbf P מטריצה מלכסנת שלה: \mathbf P^{-1}\mathbf{AP}=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n). נגדיר \mathbf z=\mathbf P^{-1}\mathbf y ולכן \mathbf z'=\mathbf P^{-1}\mathbf y'=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\mathbf z+\mathbf P^{-1}\mathbf f, ונותר לפתור n מד״ר נפרדות ולהציב ב־\mathbf y=\mathbf{Pz}.
  • אם המערכת הומוגנית ו־\mathbf A לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה \mathbf y=\sum_{\lambda_i} \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j כאשר \mathbf u_{i,j} וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במערכת המד״ר ו־d_i הריבוי האלגברי של \lambda_i.
  • נניח ש־n=2 והמערכת הומוגנית. נסמן \mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} ולכן \begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases} וגם y_2=\frac{y_1'-a y_1}b. לבסוף,
    \begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1'-a d y_1\\&=(a+d)y_1'+(bc-ad)y_1\end{align}
    ונותר לפתור מד״ר מסדר 2 וכן להציב ב־y_2=\frac{y_1'-a y_1}b.