מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/2.8.12

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נרצה לבדוק מתי C^2\ni f(x,y)=g(x)h(y). מובן ש־f_x'=g'(x)h(y),f_y'=g(x)h'(y),f_{xy}''=g'(x)h'(y). תנאי הכרחי לפרידות: f\cdot f_{xy}''=f_x'\cdot f_y'.

תרגיל ממבחן

מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 7

נתונה המשוואה (2y\sin(y)-3x\sin(y))\mathrm dx+x\sin(y)\mathrm dy=0.

  1. מצאו פתרונות סינגולריים ורגולרים.
  2. מצא כל פתרונות המשוואה עבור תנאי ההתחלה y(1)=\pi.

פתרון

  1. נוציא גורם משותף: \sin(y)\Big((2y-3x)\mathrm dx+x\mathrm dy\Big)=0. שתי אפשרויות: \sin(y)=0\implies\pi|y או \underbrace{(2y-3x)}_P\mathrm dx+\underbrace{x}_Q\mathrm dy=0. במד״ר השנייה, נבדוק אם מדוייקת: P_y'=2\ne Q_x'=1, כלומר אינה מדוייקת. \frac{Q_x'-P_y'}P=\frac{-1}{2y-3x} תלוי בשני המשתנים, בעוד ש־\frac{Q_x'-P_y'}Q=-\frac1x, ולכן נחפש גורם אינטגרציה מהצורה \mu(x). נרצה ש־\frac\partial{\partial y}\Big(\mu(x)(2y-3x_\Big)=\frac\partial{\partial x}\Big(\mu(x)x\Big) ולכן 2\mu(x)=\mu'(x)x+\mu(x), כלומר \int\frac{\mathrm d\mu}\mu=\int\frac{\mathrm dx}x, אזי |\mu(x)|=c|x|, לבסוף \mu(x)=cx. נכפול זאת במד״ר ונקבל (2xy-3x^2)\mathrm dx+x^2\mathrm dy=0. נחפש פוקנציית פוטנציאל U: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \patrtial לא מוכרת): \frac{\patrtial U}{\partial x}=2xy-3x^2\\\frac{\partial U}{\partial y}=x^2

. נחשב ונמצא U=x^2y-x^3+\varphi(y), נגזור לפי y ואז \frac{\partial U}{\partial y}=x^2+\varphi'(y)=x^2 ולכן \varphi(y)=\text{const.}. נקח \varphi(y)=0 ואז U=x^2y-x^3, עקומת הרמה היא U=c, כלומר y=\frac{x+x^3}{x^2}. לסיכום, הפתרונות הם y=\frac{x+x^3}{x^2} רגולרי ו־y=\pi k,\quad k\in\mathbb Z סינגולרי. \blacksquare

  1. נדרוש תנאי התחלה y(1)=\frac{c+1}1=c+1=\pi\implies c=\pi-1. פתרון אחד הוא y=\frac{\pi-1+x^3}{x^2}, וגם הפתרון y=\pi עונה על הבעיה.

משוואות ריקטי

y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x), פולינום ריבועי ב־y. אין נוסחה לפתרון כללי, אך אם הזגנו פתרון פרטי y_0 אזי ההצבה y(x)=y_0(x)+z(x) תביא אותנו למשוואות ברנולי עבור z.

תרגיל ממבחן

לוזון

פתרו y'-1-x^2+2xy-y^2=0.

פתרון

נשים לב שזו משוואת ריקטי עם a(x)=1,b(x)=2x,c(x)=1+x^2. קל לראות כי y_0(x)=x פתרון. לכן נפתור y=y_0+z, כלומר y'=1+z'. נציב במד״ר המקורית ונגלה ש־z'=z^2. עתה \int\frac{\mathrm dz}{z^2}=\int\mathrm dx ונסיק -\frac1z=x+c. אזי z=-\frac1{x+c}, נחזור ל־y: y=x+z=\frac{x^2+cx-1}{x+c}. הערה: קודם הנחנו ש־z\ne0. ניתן להגיע אליו ע״י c\to\infty בפתרון הרגולרי.

מד״ר מסדר גבוה

y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}). נצפה ל־n קבועים חופשיים c_1,\dots,c_n.

מקרה: אינטגרציה נשנית/חוזרת: y^{(n)}=f(x). תרגיל: y^{(3)}=\sin(x) אזי y''=\cos(x)+c_1, לכן y'=-\sin(x)+c_1x+c_2 ולבסוף y=\cos(x)+c_4x^2+c_2x+c_3.

מד״ר מסדר 2

y''=f(x,y,y').

מקרים מיוחדים

    חסר y, y''=f(x,y'). מציבים z=y' ואז y''=z', והמד״ר z'=f(x,z) הוא מסדר ראשון.
    תרגיל

    פתרו את בעיית קושי \begin{cases}xy''+2y'+x=1\\y(1)=2\\y'(1)=1\end{cases}.

    פתרון

    y חסר, לכן נציב z=y' ונקבל xz'+2z+x=1. נעביר לצורה xz'+2z=1-x, נחלק ב־x ונקבל z'+\frac2xz=\frac1x-1. הפתרון הוא z=\mathrm e^{-\int\frac2x\mathrm dx}\int\left(\frac1x-1\right)\mathrm e^{\int\frac2x\mathrm dx}\mathrm dx=x^{-2}\int(x-x^2)\mathrm dx=x^{-2}\left[c+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]=\frac c{x^2}+\frac12-\frac x3=y'. נפעיל אינטגרציה לפי x ונמצא ש־y=-\frac{c_1}x+\frac12x-\frac{x^2}6+c_2. נדרוש את קיום תנאי ההתחלה: y(1)=-c_1+\frac12-\frac16+c_2=2\ \and\ y'(1)=c_1+\frac12-\frac13=1\implies c_1=\tfrac56,c_2=\tfrac52. לסיכום, הפתרון הוא y=-\frac5{6x}+\frac12x-\frac{x^2}6+\frac56. \blacksquare

    חסר x, y''=f(y,y'). נציב y'=P(y) ואז y''=\frac{\mathrm dy'}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dP(y)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dP}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P\frac{\mathrm dP}{\mathrm dy}. המד״ר נהיית P\frac{\mathrm dP}{\mathrm dy}=f(y,p).

    תרגיל ממבחן

    מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 4

    פתרו yy''=3-(y')^2.

    פתרון

    זו מד״ר מסדר 2 ו־x אינו מופיע בה. נציב y'=P(y) והמד״ר היא yPP'=3-P^2. קיימים הפתרונות P=\pm\sqrt 3, אחרת \frac{P\mathrm dP}{3-P^2}=\frac{\mathrm dy}y. מכאן ש־\ln|3-P^2|=\ln|y^{-2}|+c, לכן |3-P^2|=cy^{-2}. נעביר אגפים ונקבל P^2=3-\frac c{y^2}=\frac{3y^2-c}{y^2}. לפיכן P=\pm\sqrt\frac{3y^2-c}{y^2}. נציב בחזרה את y: y'=P=\pm\frac\sqrt{3y^2-c}y ואז \int\frac y\sqrt{3y^2-c}\mathrm dy=\pm\int\mathrm dx. נציב 3y^2-c=z, אזי 6y\mathrm dy=\mathrm dz ונקבל \frac16\int\frac{\mathrm dz}\sqrt z=\pm x+x. עתה \frac16\frac\sqrt z{1/2}=\pm x+c\implies\sqrt{3y^2-c}=\pm3x+c_1\implies3y^2=9x^2\pm6c_1x+c_2^2+c\implies y=\pm\sqrt{3x^2+c_1x+c_2}. \blacksquare

    דרך נוספת: (y^2)'=2yy'. נשים לב ש־\left(\frac12y^2\right)''=(y')^2+yy'' והמד״ר היא yy''=3-(y')^2. עתה yy''+(y')^2=3, מאינטגרציה נקבל \left(\frac12y^2\right)''=3. אינטגרציה חוזרת: \left(\frac12y^2\right)'=3x+c_1 ואז \frac12y^2=\frac{3x^2}2+c_1x+c_2 לכן y^2=3x^2+a_1x+a_2.

    מערכת של מד״ר מסדר ראשון

    \vec F(x,\vec y,\vec y')=0. עדיין יש משתנה בלתי תלוי אחד x, אך \vec y=\begin{pmatrix}y_1(x)\\y_2(x)\\\vdots\\y_n(x)\end{pmatrix} מכיל n משתנים תלויים בו. אלו פונקציות לא ידועות שיש למצוא.

    תרגיל

    הוכיחו שהפוקנציה הווקטורית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \vec

    ………

    פתרון

    נציב במערכת y_1(x)=1,y_2(x)=x ואז 0=1-\frac1xx כדרוש וכן 1=(1+x)\cdot1-x, שוב כדרוש.

    משפט

    כל מד״ר מסדר n ניתן להביא למערכת של n מד״ר מסדר ראשון.

    תרגיל

    הבא את בעיית קושי (מסדר 2) לצורה של מערכת של שתי מד״ר מסדר ראשון. \begin{cases}2y''-5y'+y=0\\y(\pi)=1&y(0)=0\\y'(\pi)=\sqrt2&y(1)=0\end{cases}.

    פתרון

    נגדיר שני משתנים חדשים z_1(x)=y(x) ו־z_2(x)=y'(x). אזי z_1'=z_2. המד״ר היא 2z_2'-5z_2+z_1=0 ולכן z_2'=-\frac12z_1+\frac52z_2. בצורה מטריציונית: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac12&\frac52\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases} . תנאי ההתחלה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases}(\pi)=\begin{pmatrix}1\\\sqrt2\end{cases}

    . \blacksquare