מטריצה אוניטרית

הגדרה

מטריצה $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ נקראת אוניטרית אם $AA^*=I$ כאשר $A^*:=\overline{A^t}$

משפט

א. $A$ אוניטרית אם"ם $A^t$ אוניטרית.

ב. A אוניטרית אם"ם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית אם"ם עמודותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית

תרגילים

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.

הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.

הוכחה

ראשית, C אורתונורמלי אם"ם $G_C=I$.

כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים

$G_C=\Big([I]^B_C\Big)^tG_B\overline{[I]^B_C}$

אבל B אורתונורמלי ולכן $G_B=I$

וסה"כ קיבלנו $(G_C)^t=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C$

והרי $[I]^B_C$ אורתונורמלית אם"ם $I=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C=(G_C)^t$

אם"ם $G_C=I$ אם"ם C אורתונורמלי

2

תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.

פתרון: יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור $v\neq 0$ כך ש $Av=zv$.

לכן

$z\overline{z}<v,v>=<zv,zv>=<Av,Av>=(Av)^t\overline{Av}=v^tA^t\overline{Av}=v^t\overline{\overline{A^t}A}\overline{v}=v^t\overline{A^*A}\overline{v}$

כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים $A^*A=I$ ולכן ביחד אנו מקבלים:

$z\overline{z}<v,v>=v^t\overline{v}=<v,v>$

כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב$<v,v>$ על מנת לקבל

$|z|^2=z\overline{z}=1$