הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/3"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה)
שורה 28: שורה 28:
  
 
*<math>cot(t):= \frac{cos(t)}{sin(t)}=\frac{1}{tan(t)}</math>
 
*<math>cot(t):= \frac{cos(t)}{sin(t)}=\frac{1}{tan(t)}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
  
 
==זהויות טריגונומטריות==
 
==זהויות טריגונומטריות==
  
 
ישנן זהויות טריגונומטריות רבות, ניתן לעיין ברשימה מלאה למדי ב[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA ויקיפדיה]. בשיעור זה נזכיר חלק מן הזהויות הבסיסיות.
 
ישנן זהויות טריגונומטריות רבות, ניתן לעיין ברשימה מלאה למדי ב[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA ויקיפדיה]. בשיעור זה נזכיר חלק מן הזהויות הבסיסיות.
 +
 +
 +
ראשית נביט במשולש הנוצר בין הנקודות:
 +
 +
::<math>O=(0,0),B=(cos(t),sin(t)),C=(cos(t),0)</math>
 +
 +
 +
זהו משולש ישר זוית עם יתר OB שהוא רדיוס המעגל ולכן באורך אחד, ושתי צלעות באורכי <math>|BC|=sin(t),|OC|=cos(t)</math>
 +
 +
 +
לפי משפט פתגורס במשולש ישר זוית אנו מסיקים את הזהות הראשונה:
 +
 +
*<math>sin^2(t)+cos^2(t)=1</math>

גרסה מ־01:07, 6 באוגוסט 2012

חזרה למערכי השיעור

מוטיבציה לחקר הפונקציות הטריגונומטריות

כפי שנתאר למטה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות שצורתן נובע מהיחס בין צלעות משולשים ישרי זוית. על כן, השימוש הראשון בפונקציות הטריגונומטריות יהיה בעת חישובים גיאומטריים כמו חישוב תאוצה על חפץ במדרון (פיסיקה), חישוב נקודות מפגש של קווים (ארכיטקטורה, אמנות, הנדסה), תדרי קול (מוזיקה), תדרי גלים אלקטרומדנטיים (ראייה, צילום, תקשורת אלחוטית), ועוד.

נוסף על כך, ישנם גם קשרים מיוחדים בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציות שימושיות אחרות במתמטיקה. למשל, כפי שנראה בהמשך, השטח מתחת לפונקציה \frac{1}{1+x^2} הוא סוג של פונקציה טריגונומטרית.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה

Unit circle.png

במעגל ישנן 360 מעלות השקולות ל2\pi רדיאנים, וידוע כי היקף מעגל עם רדיוס r הינו 2\pi r. בלימודי המתמטיקה נשתמש בלבד בשיטת הרדיאנים לפיה הזוית בין שני ישרים היא אורך קטע הקשת שהם פורסים ממעגל היחידה (כלומר, מעגל עם רדיוס אחד שמרכזו בראשית הצירים).

נגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה.


  • sin(t) מוגדר להיות ערך ציר ה-y של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של t סיבובים כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה (1,0))


  • cos(t) מוגדר להיות ערך ציר ה-x של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של t סיבובים כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה (1,0))


  • tan(t):=\frac{sin(t)}{cos(t)}


  • cot(t):= \frac{cos(t)}{sin(t)}=\frac{1}{tan(t)}




זהויות טריגונומטריות

ישנן זהויות טריגונומטריות רבות, ניתן לעיין ברשימה מלאה למדי בויקיפדיה. בשיעור זה נזכיר חלק מן הזהויות הבסיסיות.


ראשית נביט במשולש הנוצר בין הנקודות:

O=(0,0),B=(cos(t),sin(t)),C=(cos(t),0)


זהו משולש ישר זוית עם יתר OB שהוא רדיוס המעגל ולכן באורך אחד, ושתי צלעות באורכי |BC|=sin(t),|OC|=cos(t)


לפי משפט פתגורס במשולש ישר זוית אנו מסיקים את הזהות הראשונה:

  • sin^2(t)+cos^2(t)=1