הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(מספרים מרוכבים)
(מספרים מרוכבים)
שורה 62: שורה 62:
  
 
שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>
 
שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>
 +
 +
 +
 +
בנוסף לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> נגדיר את '''הצמוד המרוכב''':
 +
 +
::<math>\overline{z}=a-bi</math>
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''' חשב את <math>z\cdot \overline{z}</math>
 +
 +
'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math>
 +
 +
 +
::הערה: נסמן <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
 +
  
  
 
'''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>w</math> כך ש <math>z\cdot w = 1</math>.
 
'''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>w</math> כך ש <math>z\cdot w = 1</math>.
  
::הערה: באופן כללי נסמן <math>w=\frac{1}{z}</math>
+
'''פתרון''': <math>w=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
 +
 
 +
 
 +
::הערה: באופן כללי נסמן <math>z^{-1}=\frac{1}{z}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
 
'''תרגיל''' חשב את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>
 
'''תרגיל''' חשב את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

גרסה מ־06:57, 8 באוגוסט 2012

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]


arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]


arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]


תרגיל: הוכח כי sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}


תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

  • |cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}


  • sin(x^2+1)<0


  • sin(ax)>0


  • arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}


  • sin(2x) < 2sin(x)


  • \sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0


מספרים מרוכבים

נביט באוסף האיברים מהצורה

a+b\cdot i


כאשר a,b\in\mathbb{R} והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה מספרים מרוכבים.


נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:


(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i


(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i


שימו לב כי i^2 = -1


בנוסף לכל מספר מרוכב z=a+bi נגדיר את הצמוד המרוכב:

\overline{z}=a-bi


תרגיל חשב את z\cdot \overline{z}

פתרון z\cdot \overline{z} = a^2+b^2


הערה: נסמן |z|=\sqrt{a^2+b^2}


תרגיל הוכח שלכל מספר מרוכב z קיים מספר מרוכב w כך ש z\cdot w = 1.

פתרון: w=\frac{\overline{z}}{|z|^2}


הערה: באופן כללי נסמן z^{-1}=\frac{1}{z}



תרגיל חשב את הביטוי \frac{5+2i}{2-3i}