הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־07:20, 8 באוגוסט 2012

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.

arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]

arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

תרגיל: הוכח כי $sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}$

תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

$|cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$sin(x^2+1)<0$

$sin(ax)>0$

$arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}$

$sin(2x) < 2sin(x)$

$\sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0$

מספרים מרוכבים

נביט באוסף האיברים מהצורה

a+b\cdot i

כאשר $a,b\in\mathbb{R}$ והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה מספרים מרוכבים.

נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:

(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i

(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i

שימו לב כי $i^2 = -1$

בנוסף לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ נגדיר את הצמוד המרוכב:

\overline{z}=a-bi

תרגיל חשב את $z\cdot \overline{z}$

פתרון $z\cdot \overline{z} = a^2+b^2$

הערה: נסמן

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

תרגיל הוכח שלכל מספר מרוכב $z$ קיים מספר מרוכב $z^{-1}$ כך ש $z\cdot z^{-1} = 1$ .

פתרון: $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

הערה: באופן כללי נסמן

z^{-1}=\frac{1}{z}

תרגיל חשב את הביטוי $\frac{5+2i}{2-3i}$

הגדרה: עבור מספר מרוכב $z=a+bi$

החלק הממשי

Re(z)=a

החלק המדומה

Im(z)=b

לדוגמא:

$Im(a-bi) = -b$

תרגיל: הוכח כי $|z|\geq |Re(z)|$

תרגיל: הוכח את אי-שיוויון המשולש $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/4&oldid=25338