הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/9"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏נוסחאות גזירה)
(←‏נוסחאות גזירה)
 
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 21: שורה 21:
  
  
−
*<math>\Big(arctan(x)\Big)'=\frac{1}{1+x^2}</math>
+
*<math>\Big(ln(x)\Big)'=\frac{1}{x}</math>
  
 +
 +
*<math>\Big(arctan(x)\Big)'=\frac{1}{1+x^2}</math>
  
 
==נוסחאות גזירה==
 
==נוסחאות גזירה==
שורה 40: שורה 42:
 
*<math>\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'</math>
 
*<math>\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'</math>
  
 +
 +
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''' גזור את הפונקציות הבאות:
 +
 +
*<math>tan(x)</math>
 +
 +
 +
*<math>\frac{1}{(ax+b)^n}</math>
 +
 +
 +
*<math>\sqrt{x}</math>
 +
 +
 +
*<math>sin\Big(\frac{e^x}{x^e}\Big)</math>
 +
 +
 +
*<math>ln(f(x))</math>  (הצג את הביטוי בעזרת <math>f'</math>)
  
 
==בעיות מינימום/מקסימום==
 
==בעיות מינימום/מקסימום==
שורה 60: שורה 82:
  
 
*נניח <math>f'(x_0)=0</math> '''וגם''' <math>f''(x_0)<0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת '''מקסימום מקומי''' (כלומר, f גדולה או שווה בנקודה <math>x_0</math> מכל הנקודות הקרובות אליה)
 
*נניח <math>f'(x_0)=0</math> '''וגם''' <math>f''(x_0)<0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת '''מקסימום מקומי''' (כלומר, f גדולה או שווה בנקודה <math>x_0</math> מכל הנקודות הקרובות אליה)
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''': נביט בכל המלבנים שהיקפם 8.
 +
 +
א. האם יש מלבן כזה עם שטח מקסימלי או מינימלי?
 +
 +
ב. מצא את אותו שטח קיצוני.

גרסה אחרונה מ־07:26, 20 באוגוסט 2012

חזרה למערכי השיעור

נגזרות

אנו יודעים כי השיפוע של קו ישר הוא ההפרש בציר ה-y חלקי ההפרש בציר ה-x. הנגזרת של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק באותה הנקודה.

נגזרות ידועות:

  • עבור c קבוע, \Big(c\Big)'=0


  • \Big(x^n\Big)'=nx^{n-1}


  • \Big(sin(x)\Big)'=cos(x)


  • \Big(cos(x)\Big)'=-sin(x)


  • \Big(a^x\Big)'=ln(a)\cdot a^x


  • \Big(ln(x)\Big)'=\frac{1}{x}


  • \Big(arctan(x)\Big)'=\frac{1}{1+x^2}

נוסחאות גזירה

  • (cf)'=c\cdot f'


  • (f+g)'=f'+g'


  • (f\cdot g)'=f'g+g'f


  • \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}


  • \Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'




תרגיל גזור את הפונקציות הבאות:

  • tan(x)


  • \frac{1}{(ax+b)^n}


  • \sqrt{x}


  • sin\Big(\frac{e^x}{x^e}\Big)


  • ln(f(x)) (הצג את הביטוי בעזרת f')

בעיות מינימום/מקסימום

תהי f(x) פונקציה גזירה. רוצים לדעת מה המקסימום והמינימום שהפונקציה מקבלת בקטע [a,b].

אם הפונקציה מקבלת נקודת קיצון (מינ' או מקס') בחלק הפנימי של הקטע (a<x<b) אזי הנגזרת שלה חייבת להתאפס בנקודה.


לכן, נמצא את כל הנקודות בקטע בהן הנגזרת מתאפסת, נוסיף את קצוות הקטע (בהן הנגזרת לא חייבת להתאפס) ונבדוק מתי הפונקציה מקבלת את הערך המקסימלי שלה ומתי את הערך המינימלי


תרגיל: מצא את המינימום והמקסימום של הפונקציה x^7-x^8 בקטע [0,1]


בנוסף, לעיתים ניתן למצוא ולאפיין נקודת קיצון על ידי הנגזרת השנייה:

  • נניח f'(x_0)=0 וגם f''(x_0)>0 אזי x_0 נקודת מינימום מקומי (כלומר, f קטנה או שווה בנקודה x_0 מכל הנקודות הקרובות אליה)
  • נניח f'(x_0)=0 וגם f''(x_0)<0 אזי x_0 נקודת מקסימום מקומי (כלומר, f גדולה או שווה בנקודה x_0 מכל הנקודות הקרובות אליה)


תרגיל: נביט בכל המלבנים שהיקפם 8.

א. האם יש מלבן כזה עם שטח מקסימלי או מינימלי?

ב. מצא את אותו שטח קיצוני.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/9&oldid=26061