מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/9

נגזרות

אנו יודעים כי השיפוע של קו ישר הוא ההפרש בציר ה-y חלקי ההפרש בציר ה-x. הנגזרת של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק באותה הנקודה.

נגזרות ידועות:

עבור c קבוע, $\Big(c\Big)'=0$

$\Big(x^n\Big)'=nx^{n-1}$

$\Big(sin(x)\Big)'=cos(x)$

$\Big(cos(x)\Big)'=-sin(x)$

$\Big(a^x\Big)'=ln(a)\cdot a^x$

$\Big(ln(x)\Big)'=\frac{1}{x}$

$\Big(arctan(x)\Big)'=\frac{1}{1+x^2}$

נוסחאות גזירה

$(cf)'=c\cdot f'$

$(f+g)'=f'+g'$

$(f\cdot g)'=f'g+g'f$

$\Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}$

$\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'$

תרגיל גזור את הפונקציות הבאות:

$tan(x)$

$\frac{1}{(ax+b)^n}$

$\sqrt{x}$

$sin\Big(\frac{e^x}{x^e}\Big)$

$ln(f(x))$ (הצג את הביטוי בעזרת $f'$ )

בעיות מינימום/מקסימום

תהי $f(x)$ פונקציה גזירה. רוצים לדעת מה המקסימום והמינימום שהפונקציה מקבלת בקטע $[a,b]$ .

אם הפונקציה מקבלת נקודת קיצון (מינ' או מקס') בחלק הפנימי של הקטע ( $a<x<b$ ) אזי הנגזרת שלה חייבת להתאפס בנקודה.

לכן, נמצא את כל הנקודות בקטע בהן הנגזרת מתאפסת, נוסיף את קצוות הקטע (בהן הנגזרת לא חייבת להתאפס) ונבדוק מתי הפונקציה מקבלת את הערך המקסימלי שלה ומתי את הערך המינימלי

תרגיל: מצא את המינימום והמקסימום של הפונקציה $x^7-x^8$ בקטע $[0,1]$