מכפלה פנימית מושרית

בכל מרחב מכפלה פנימית ניתן להגדיר נורמה, הנובעת מהמכפלה הפנימית, הנקראת נורמה מושרית: [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math].

בערך זה נלמד באילו תנאים נורמה היא נורמה מושרית, ומה היא המכפלה הפנימית הנובעת מהנורמה, או המכפלה הפנימית המושרית.

כלל המקבילית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית ויהיו [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math]. כלל המקבילית אומר שעבור הנורמה המושרית מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ ||x+y||^2 +||x-y||^2 =2 ||x|^2 +2||y||^2 }[/math]

הוכחת כלל המקבילית

[math]\displaystyle{ ||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2 }[/math]

נורמה שאינה מושרית ממכפלה פנימית

כלל המקבילית מזכיר את הנורמה בלבד, ולא את המכפלה הפנימית, ולכן לכל נורמה ניתן לבדוק אם היא מקיימת את כלל המקבילית.

אם מדובר בנורמה המושרית ממכפלה פנימית, הוכחנו כי היא חייבת לקיים את כלל המקבילית.

נביט לדוגמא במרחב [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2 }[/math] עם הנורמה [math]\displaystyle{ ||(a,b)||=|a|+|b| }[/math], ובוקטורים [math]\displaystyle{ x=(1,0),y=(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ ||(1,0)+(0,1)||^2 + ||(1,0)-(0,1)||^2 =||(1,1)||^2 +||(1,-1)||^2 =2^2+2^2 =8 }[/math]

ואילו

[math]\displaystyle{ 2||(1,0)||^2 +2||(0,1)||^2=2\cdot 1+2\cdot 1=4\neq 8 }[/math]

כלומר נורמה זו אינה מקיימת את כלל המקבילית, ולכן אינה נורמה המושרית ממכפלה פנימית כלשהי.

מכפלה פנימית מושרית

אנו נוכיח שכל נורמה המקיימת את כלל המקבילית היא נורמה מושרית ממכפלה פנימית.

יתר על כן, נראה שנורמה לא יכול להיות מושרית משתי מכפלות פנימיות אחרות, אלא אחת בלבד ונראה כיצד ניתן לחשב את המכפלה הפנימית הזו באמצעות הנורמה בלבד.

כלומר נבנה מכפלה פנימית הנובעת מן הנורמה (מכפלה פנימית מושרית), כך שהנורמה היא הנורמה המושרית ממכפלה פנימית זו (לא מבלבל בכלל).

דיון מקדים

מכפלה פנימית, אמורה (לכאורה) לייצר שילוב של אורך וזוית, ולא מפתיע שניתן ליצור ממנה פונקציה המודדת אורך (הנורמה המושרית).

אך האם מתוך ידע על האורך בלבד ניתן גם לשחזר את הזוית? מסתבר שכן!

משפט הקוסינוסים במשולש שנוצר מהוקטורים [math]\displaystyle{ x,y }[/math] אומר כי:

[math]\displaystyle{ ||x-y||^2 =||x||^2+||y||^2 -2||x||||y||\cos(\theta) }[/math]

המכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים מקיימת כי:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = ||x||||y||\cos(\theta) }[/math]

ולכן סה"כ נקבל כי

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} }[/math]

כלומר אכן הצלחנו לתאר את פונקצית המכפלה הפנימית באמצעות פונקצית הנורמה בלבד. האם זה מתקיים גם במקרה הכללי ולא רק בסטנדרטי?

הזהויות הפולריות

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, ונביט בנורמה המושרית [math]\displaystyle{ ||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle} }[/math].

כפי שהוכחנו, הנורמה מקיימת את כלל המקבילית. לכן לכל שני וקטורים [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ ||x+y||^2 =2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \langle x+y,x+y\rangle + \langle x-y,x-y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||x||^2 + \langle x,y \rangle + \overline{\langle x,y\rangle } +||y||^2 = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

וסה"כ נקבל כי

[math]\displaystyle{ 2 Re \left(\langle x,y \rangle\right) = ||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ Re \left(\langle x,y \rangle\right) = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} }[/math]

מעל הממשיים, זו בדיוק הנוסחא שקיבלנו באמצעות משפט הקוסינוסים! (זו נקראת הזהות הפולרית הממשית).

מעל המרוכבים עלינו למצוא גם את החלק המדומה של המכפלה הפנימית על מנת לקבל את הזהות הפולרית הכללית.

כעת, נשים לב כי

[math]\displaystyle{ Re \left(\langle x,iy \rangle\right)=Re \left(\overline{i}\langle x,y \rangle\right) =Re \left(-i\langle x,y \rangle\right)=Im \left(\langle x,y \rangle\right) }[/math]

שכן לכל מספר מרוכב מתקיים כי [math]\displaystyle{ Re(i\cdot z) = -Im (z) }[/math]

ביחד אנחנו מוכנים כעת להסיק את הזהות הפולרית:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Im\left(\langle x,y \rangle\right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ =Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Re\left(\langle x,iy \rangle\right) }[/math]

וסה"כ הזהות הפולרית היא

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2} }[/math]

שימו לב כי [math]\displaystyle{ ||iy||^2=(|i|\cdot ||y||)^2 = ||y||^2 }[/math]

עד כה אנו למדים כי מתוך הנורמה המושרית המכפלה הפנימית נקבעת באופן יחיד (הן בממשיים והן במרוכבים).

אך נותר לנו להוכיח כי המכפלה המוגדרת ע"י הנוסחא הפולרית היא אכן מכפלה פנימית, וכך נעשה בסעיפים הבאים.

הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה הממשי

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב נורמי ממשי, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית.

נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2} }[/math]

נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.

ראשית נשים לב לפיתוח הבא:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2}= \frac{2||x||^2 +2||y||^2 -2||x-y||^2 }{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4} }[/math]

כאשר המעבר האחרון הוא בזכות כלל המקבילית

אדטיביות

ראשית נוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle }[/math]

לפי הפיתוח שראינו מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ 4\langle x+y,z\rangle = ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 }[/math]

וכן

[math]\displaystyle{ 4\langle x,z\rangle+4\langle y,z\rangle = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2 }[/math]

ולכן עלינו להוכיח כי

[math]\displaystyle{ ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2 }[/math]

נעביר אגף, ונקבל שעלינו להוכיח כי

[math]\displaystyle{ ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 - ||x+z||^2 +||x-z||^2 -||y+z||^2 +||y-z||^2 =0 }[/math]

נפעיל את כלל המקבילית על ארבעת זוגות הוקטורים הבאים:

[math]\displaystyle{ \{x+y+z,x-z\} , \{x+y-z,x+z\}, \{y+z,z\} , \{y-z,z\} }[/math]

ונקבל את ארבע המשוואות:

[math]\displaystyle{ ||2x+y||^2 +||y+2z||^2 = 2||x+y+z||^2 + 2||x-z||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||2x+y||^2 +||y-2z||^2 = 2||x+y-z||^2 + 2||x+z||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||y+2z||^2 +||y||^2 = 2||y+z||^2 +2||z||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||y||^2 +||y-2z||^2 = 2||y-z||^2 +2||z||^2 }[/math]

כעת ניקח את המשוואה הראשונה, פחות השנייה, פחות השלישית ועוד הרביעית (קל). כל הצד השמאלי יתאפס ונקבל סה"כ:

[math]\displaystyle{ 0 = 2||x+y+z||^2 + 2||x-z||^2 - 2||x+y-z||^2 - 2||x+z||^2 - 2||y+z||^2 + 2||y-z||^2 }[/math]

נחלק ב2 ונקבל בדיוק את מה שהיה צריך להוכיח.

כפל בסקלר

נוכיח כי לכל סקלר [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]

ראשית, מהאדטיביות ניתן להסיק כי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ \langle nx, y\rangle=\langle x+\cdots +x, y\rangle = \langle x, y\rangle+\cdots +\langle x, y\rangle=n\langle x, y\rangle }[/math]

נשים לב כי [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle+\langle -x,y\rangle=\langle x-x,y\rangle =\langle 0, y\rangle }[/math]

וכן מהצבה ישירה [math]\displaystyle{ \langle 0,y\rangle = \frac{||0+y||^2 =||0-y||^2}{4} =0 }[/math]

ולכן נובע כי [math]\displaystyle{ \langle -x,y\rangle = -\langle x,y\rangle }[/math]

מכאן באופן דומה לטבעיים ניתן להסיק כי לכל [math]\displaystyle{ p\in \mathbb{Z} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \langle px,y\rangle = p\langle x,y\rangle }[/math]

כמו כן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle =\langle n\cdot \frac{1}{n} x,y\rangle = n\langle \frac{1}{n}x,y\rangle }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} \langle x,y\rangle = \langle \frac{1}{n}x,y\rangle }[/math]

וביחד אנחנו מקבלים כי לכל [math]\displaystyle{ \frac{p}{n}\in\mathbb{Q} }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \langle \frac{p}{n}x,y\rangle = p\langle \frac{1}{n}x,y\rangle =\frac{p}{n}\langle x,y\rangle }[/math]

לבסוף, יהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{R} }[/math].

ניקח סדרה [math]\displaystyle{ c_n\in\mathbb{Q} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ c_n\to c }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ \langle c_n x,y\rangle=c_n \langle x,y\rangle \to c\langle x,y\rangle }[/math]

מצד שני

[math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle - \langle c_n x,y\rangle = \langle cx,y\rangle + \langle -c_n x,y\rangle = \langle (c-c_n)x,y\rangle }[/math]

כעת לפי אי שיוויון המשולש נקבל כי

[math]\displaystyle{ ||(c-c_n)x+y||\leq ||(c-c_n)x||+||y||=|c-c_n|\cdot ||x||+||y||\to ||y|| }[/math]

לכן סה"כ

[math]\displaystyle{ \langle (c-c_n)x,y\rangle=\frac{||(c-c_n)x+y||^2 - ||(c-c_n)x-y||^2}{4}\to \frac{||y||^2-||y||^2}{4} =0 }[/math]

כלומר קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \langle c_n x,y\rangle \to \langle cx,y\rangle }[/math]

ויחד עם העובדה שראינו למעלה כי [math]\displaystyle{ \langle c_n x,y\rangle\to c\langle x,y\rangle }[/math]

סה"כ נקבל כי

[math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle=c\langle x,y\rangle }[/math] כפי שרצינו.

סימטריות

כיוון שמדובר בממשיים, עלינו להוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle }[/math]

אבל זה נובע באופן מיידי מהחישוב הבא:

[math]\displaystyle{ ||x-y||^2 = ||-(y-x)||^2 = (|-1|\cdot ||y-x||)^2=||y-x||^2 }[/math]

כיוון ש

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||y-x||^2}{4} = \langle y,x\rangle }[/math]

אי שליליות

נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו

[math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle = \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} = \frac{||2x||^2}{4} = \frac{4||x||^2}{4} = ||x||^2 }[/math]

מתכונות הנורמה נובע כי [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =||x||^2 \geq 0 }[/math] ושיוויון לאפס אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

כמו כן נשים לב שמתקיים [math]\displaystyle{ ||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle} }[/math], כלומר הנורמה שלנו היא אכן נורמה המושרית מהמכפלה הפנימית שייצרנו.

הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב נורמי מעל שדה המרוכבים, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית.

נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2} }[/math].

נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.

שוב נעזר בפיתוח שעשינו בהוכחה מעל הממשיים, ונקבל כי

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} }[/math]

כאשר השתמשנו בעובדה כי [math]\displaystyle{ ||y||^2 = ||iy||^2 }[/math].

אדטיביות

עלינו להוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle }[/math]

נוכיח כי החלקים הממשיים של שני צידי המשוואה שווים וכך גם החלקים המדומים ומכאן המשוואה מתקיימת.

כלומר צריך להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \frac{||x+y+z||^2-||x+y-z||^2}{4} = \frac{||x+z||^2-||x-z||^2}{4} + \frac{||y+z||^2 -||y-z||^2}{4} }[/math]

וכן

[math]\displaystyle{ \frac{||x+y+iz||^2-||x+y-iz||^2}{4} = \frac{||x+iz||^2-||x-iz||^2}{4} + \frac{||y+iz||^2 -||y-iz||^2}{4} }[/math]

אבל את המשוואה הראשונה הוכחנו בחלק הממשי, ואותה הוכחה בדיוק תקיפה כאן (כי לא היה בה שימוש בסקלרים, רק בכלל המקבילית).

ע"י הצבת [math]\displaystyle{ iz }[/math] במקום [math]\displaystyle{ z }[/math] נקבל גם את המשוואה השנייה.

כפל בסקלר

עלינו להוכיח כי:

[math]\displaystyle{ \langle (a+bi)x,y\rangle = (a+bi)\langle x,y\rangle }[/math]

מהאדטיביות אנו יודעים כי

[math]\displaystyle{ \langle (a+bi)x,y\rangle = \langle ax,y\rangle+\langle bix,y\rangle }[/math]

בעזרת הוכחה זהה למקרה הממשי, ניתן להסיק כי לכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math].

ולכן נקבל כי

[math]\displaystyle{ \langle ax,y\rangle = a\langle x,y\rangle }[/math]

וכן

[math]\displaystyle{ \langle bix,y\rangle = b\langle ix,y\rangle }[/math]

לכן כל שנותר לנו להוכיח הוא כי

[math]\displaystyle{ \langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle }[/math]

ואז נקבל כי

[math]\displaystyle{ \langle (a+bi)x,y\rangle = a\langle x,y\rangle+bi\langle x,y\rangle=(a+bi)\langle x,y\rangle }[/math]

נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle ix,y\rangle = \frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ i\cdot \langle x,y\rangle = i\cdot \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} }[/math]

כאמור אנחנו רוצים להוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle }[/math]

לכן עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):

[math]\displaystyle{ \frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} = - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} }[/math]

נכפול כמובן ב4 את המשוואות, ונתחיל לטפל במשוואה הראשונה:

[math]\displaystyle{ ||ix+y||^2 -||ix-y||^2 = ||i(x-iy)||^2 -||i(x+iy)||^2 = }[/math]

[math]\displaystyle{ =(|i|\cdot ||x-iy||)^2 - (|i|\cdot ||x+iy||)^2 =-(||x+iy||^2 -||x-iy||^2) }[/math]

בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.

באופן דומה נטפל במשוואה השנייה

[math]\displaystyle{ ||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2 = ||i(x+y)||^2 - ||i(x-y)||^2 =||x+y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.

הרמיטיות

עלינו להוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle} }[/math]

ראשית נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} + i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\langle y,x\rangle} = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} - i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4} }[/math]

כלומר עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):

[math]\displaystyle{ \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}=\frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} = -\frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4} }[/math]

נתחיל מהמשוואה הראשונה:

[math]\displaystyle{ ||x-y||^2 = ||-(y-x)||^2 =(|-1|\cdot ||y-x||)^2 = ||y-x||^2 }[/math]

ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת.

כעת נשווה את המונים במשוואה השנייה:

[math]\displaystyle{ ||x+iy||^2 - ||x-iy||^2 = ||i(-ix+y)||^2 - ||-i(ix+y)||^2 = }[/math]

[math]\displaystyle{ =(|i|\cdot||y-ix||)^2 -(|-i|\cdot ||y+ix||)^2= -(||y+ix||^2 - ||y-ix||^2) }[/math]

כפי שהיינו צריכים להוכיח.

אי שליליות

נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו

[math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle = \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} + i\cdot \frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4} }[/math]

נפתח את החלק הממשי:

[math]\displaystyle{ \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} = \frac{||2x||^2 }{4} = \frac{4||x||^2}{4}=||x||^2 }[/math]

לגבי החלק המדומה, נשים לב כי

[math]\displaystyle{ ||x+ix||^2 = ||(1+i)x||^2 = |1+i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2 }[/math]

וכן

[math]\displaystyle{ ||x-ix||^2 = ||(1-i)x||^2 = |1-i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2 }[/math]

וסה"כ החלק המדומה מתאפס

[math]\displaystyle{ \frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}=0 }[/math]

(הערה: אפשר היה גם להסיק שהחלק המדומה מתאפס בזכות ההרמיטיות.)

סה"כ קיבלנו כי

[math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle = ||x||^2 }[/math]

ומתכונות הנורמה אנו יודעים כי ביטוי זה אינו שלילי, ומתאפס אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].

לבסוף, נשים לב כי גילינו כי [math]\displaystyle{ ||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle} }[/math], כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.