מכפלה פנימית מושרית

בכל מרחב מכפלה פנימית ניתן להגדיר נורמה, הנובעת מהמכפלה הפנימית, הנקראת נורמה מושרית: $||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}$.

בערך זה נלמד באילו תנאים נורמה היא נורמה מושרית, ומה היא המכפלה הפנימית הנובעת מהנורמה, או המכפלה הפנימית המושרית.

כלל המקבילית

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית ויהיו $x,y\in V$. כלל המקבילית אומר שעבור הנורמה המושרית מתקיים כי:

$||x+y||^2 +||x-y||^2 =2 ||x|^2 +2||y||^2$

הוכחת כלל המקבילית

• $||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=$
• $=\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle=$
• $=2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2$