מכפלה פנימית מושרית

בכל מרחב מכפלה פנימית ניתן להגדיר נורמה, הנובעת מהמכפלה הפנימית, הנקראת נורמה מושרית: $||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}$.

בערך זה נלמד באילו תנאים נורמה היא נורמה מושרית, ומה היא המכפלה הפנימית הנובעת מהנורמה, או המכפלה הפנימית המושרית.

כלל המקבילית

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית ויהיו $x,y\in V$. כלל המקבילית אומר שעבור הנורמה המושרית מתקיים כי:

$||x+y||^2 +||x-y||^2 =2 ||x|^2 +2||y||^2$

הוכחת כלל המקבילית

• $||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=$
• $=\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle=$
• $=2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2$

נורמה שאינה מושרית ממכפלה פנימית

כלל המקבילית מזכיר את הנורמה בלבד, ולא את המכפלה הפנימית, ולכן לכל נורמה ניתן לבדוק אם היא מקיימת את כלל המקבילית.

אם מדובר בנורמה המושרית ממכפלה פנימית, הוכחנו כי היא חייבת לקיים את כלל המקבילית.

נביט לדוגמא במרחב $V=\mathbb{R}^2$ עם הנורמה $||(a,b)||=|a|+|b|$, ובוקטורים $x=(1,0),y=(0,1)$

$||(1,0)+(0,1)||^2 + ||(1,0)-(0,1)||^2 =||(1,1)||^2 +||(1,-1)||^2 =2^2+2^2 =8$

ואילו

$2||(1,0)||^2 +2||(0,1)||^2=2\cdot 1+2\cdot 1=4\neq 8$

כלומר נורמה זו אינה מקיימת את כלל המקבילית, ולכן אינה נורמה המושרית ממכפלה פנימית כלשהי.

מכפילה פנימית מושרית

אנו נוכיח שכל נורמה המקיימת את כלל המקבילית היא נורמה מושרית ממכפלה פנימית, ונראה כיצד ניתן לחשב את המכפלה הפנימית הזו באמצעות הנורמה בלבד.

כלומר נבנה מכפלה פנימית הנובעת מן הנורמה (מכפלה פנימית מושרית), כך שהנורמה היא הנורמה המושרית ממכפלה פנימית זו (לא מבלבל בכלל).