מכפלה פנימית מושרית

בכל מרחב מכפלה פנימית ניתן להגדיר נורמה, הנובעת מהמכפלה הפנימית, הנקראת נורמה מושרית: $||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}$.

בערך זה נלמד באילו תנאים נורמה היא נורמה מושרית, ומה היא המכפלה הפנימית הנובעת מהנורמה, או המכפלה הפנימית המושרית.

כלל המקבילית

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית ויהיו $x,y\in V$. כלל המקבילית אומר שעבור הנורמה המושרית מתקיים כי:

$||x+y||^2 +||x-y||^2 =2 ||x|^2 +2||y||^2$

הוכחת כלל המקבילית

• $||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=$
• $=\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle=$
• $=2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2$

נורמה שאינה מושרית ממכפלה פנימית

כלל המקבילית מזכיר את הנורמה בלבד, ולא את המכפלה הפנימית, ולכן לכל נורמה ניתן לבדוק אם היא מקיימת את כלל המקבילית.

אם מדובר בנורמה המושרית ממכפלה פנימית, הוכחנו כי היא חייבת לקיים את כלל המקבילית.

נביט לדוגמא במרחב $V=\mathbb{R}^2$ עם הנורמה $||(a,b)||=|a|+|b|$, ובוקטורים $x=(1,0),y=(0,1)$

$||(1,0)+(0,1)||^2 + ||(1,0)-(0,1)||^2 =||(1,1)||^2 +||(1,-1)||^2 =2^2+2^2 =8$

ואילו

$2||(1,0)||^2 +2||(0,1)||^2=2\cdot 1+2\cdot 1=4\neq 8$

כלומר נורמה זו אינה מקיימת את כלל המקבילית, ולכן אינה נורמה המושרית ממכפלה פנימית כלשהי.

מכפלה פנימית מושרית

אנו נוכיח שכל נורמה המקיימת את כלל המקבילית היא נורמה מושרית ממכפלה פנימית.

יתר על כן, נראה שנורמה לא יכול להיות מושרית משתי מכפלות פנימיות אחרות, אלא אחת בלבד ונראה כיצד ניתן לחשב את המכפלה הפנימית הזו באמצעות הנורמה בלבד.

כלומר נבנה מכפלה פנימית הנובעת מן הנורמה (מכפלה פנימית מושרית), כך שהנורמה היא הנורמה המושרית ממכפלה פנימית זו (לא מבלבל בכלל).

דיון מקדים

מכפלה פנימית, אמורה (לכאורה) לייצר שילוב של אורך וזוית, ולא מפתיע שניתן ליצור ממנה פונקציה המודדת אורך (הנורמה המושרית).

אך האם מתוך ידע על האורך בלבד ניתן גם לשחזר את הזוית? מסתבר שכן!

משפט הקוסינוסים במשולש שנוצר מהוקטורים $x,y$ אומר כי:

$||x-y||^2 =||x||^2+||y||^2 -2||x||||y||\cos(\theta)$

המכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים מקיימת כי:

$\langle x,y\rangle = ||x||||y||\cos(\theta)$

ולכן סה"כ נקבל כי

$\langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2}$

כלומר אכן הצלחנו לתאר את פונקצית המכפלה הפנימית באמצעות פונקצית הנורמה בלבד. האם זה מתקיים גם במקרה הכללי ולא רק בסטנדרטי?