גרסה אחרונה מ־10:41, 28 בינואר 2013

תוכן עניינים

1 דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות
- 1.1 מרכז של חבורה
  - 1.1.1 הגדרה
  - 1.1.2 משפט
- 1.2 תרגיל
  - 1.2.1 פתרון

דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות

מרכז של חבורה

הגדרה

לכל חבורה $G$ מגדירים את המרכז שלה, $Z(G)$ כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו $Z(G)=\{ g:\forall h\in G: gh=hg \}$ .

משפט

$Z(G)$ הוא תת-חבורה נורמלית של $G$ .

תרגיל

הוכח G אבלית $G/Z(G) \Leftrightarrow$ ציקלית.

פתרון

$\Leftarrow$ ברור.

$\Rightarrow$ . נניח ש $G/Z(G)$ ציקלית. אזי, קיים $a \in G$ כך ש $Z/Z(G)=<aZ(G)>$ . קוסטים מהווים חלוקה של $G$ לכן מתקיים $G=\cup_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)$ . יהיו $g,h\in G$ . אזי קיימים $k,m$ כך ש $g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)$ . כלומר, $g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)$ .

אזי מתקיים: $gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות ==
+= דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות =
-'''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)={g:\forall h\in G gh=hg}</math>
+== מרכז של חבורה ==
+=== הגדרה ===
+לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר.
+דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G: gh=hg \}</math>.
+=== משפט ===
+<math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>.
+== תרגיל ==
+הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.
+=== פתרון ===
+<math>\Leftarrow</math> ברור.
+<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>.
+קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\cup_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. כלומר, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>.
+אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "מערך תרגול 6"

גרסה אחרונה מ־10:41, 28 בינואר 2013

תוכן עניינים

דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות

מרכז של חבורה

הגדרה

משפט

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים