הבדלים בין גרסאות בדף "מערך תרגול 6"
מתוך Math-Wiki
| שורה 1: | שורה 1: | ||
== דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות == | == דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות == | ||
| + | = מרכז של חבורה = | ||
'''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>. | '''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>. | ||
'''משפט:''' <math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>. | '''משפט:''' <math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>. | ||
| − | + | = תרגיל = | |
| + | הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית. | ||
| − | + | = פתרון = | |
| + | <math>\Leftarrow</math> ברור. | ||
<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>. | <math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>. | ||
גרסה מ־21:19, 16 בדצמבר 2012
דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות
מרכז של חבורה
הגדרה: לכל חבורה 
מגדירים את המרכז שלה, 
כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו 
.
משפט: הוא תת-חבורה נורמלית של .
תרגיל
הוכח G אבלית 
ציקלית.
פתרון
ברור.
. נניח ש 
ציקלית. אזי, קיים 
כך ש 
.
קוסטים מהווים חלוקה של לכן מתקיים 
. יהיו 
. אזי קיימים 
כך ש 
. כלמר, 
.
אזי מתקיים: 
.
