דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות

מרכז של חבורה

הגדרה

לכל חבורה $G$ מגדירים את המרכז שלה, $Z(G)$ כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו $Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}$ .

משפט

$Z(G)$ הוא תת-חבורה נורמלית של $G$ .

תרגיל

הוכח G אבלית $G/Z(G) \Leftrightarrow$ ציקלית.

פתרון

$\Leftarrow$ ברור.

$\Rightarrow$ . נניח ש $G/Z(G)$ ציקלית. אזי, קיים $a \in G$ כך ש $Z/Z(G)=<aZ(G)>$ . קוסטים מהווים חלוקה של $G$ לכן מתקיים $G=\cap_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)$ . יהיו $g,h\in G$ . אזי קיימים $k,m$ כך ש $g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)$ . כלמר, $g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)$ .

אזי מתקיים: $gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg$ .