==תרגילים==
===משפט הפירוק הניצב===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math>
===0===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math>
===1===
ד. לכל קבוצה <math>S\subseteq V</math> מתקיים <math>\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp</math>
'''פתרון:'''
א.
<math>\{0\}^\perp = \{v\in V|<v,0>=0\}=V</math>
ב.
<math>V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:<w,v>=0\}</math>
אם כך, נניח <math>w\in V^\perp</math>, כיוון <math>w\in V</math> מתקיים ביחד <math><w,w>=0</math> ולפי אי שליליות <math>w=0</math>
לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>
ג.
נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>.
לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math>
ד.
כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>.
כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים
::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math>
כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math>
===2===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים. '''הוכיחו/הפריכו:'''
א. <math>(U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp</math>
ב.<math>(U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp</math>
ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math>
'''פתרון:'''
א. '''הפרכה''':
<math>U=\{0\},W=V</math>
ב. '''הוכחה''':
<math>\supseteq</math>
נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>.
יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן:
::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math>
כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math>
ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math>
<math>\subseteq</math>
נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>.
יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math>
לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math>
סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>
ג. '''הפרכה''':
<math>U=\{0\},W=V</math>
===3===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math>
'''הפרכה:'''
<math>U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}</math>