מרכז של תת-חבורה

המרכז (כף בסגול) של תת-חבורה H של חבורה G כולל את האברים של G המתחלפים עם כל האברים של H. מסמנים אותו בסימון $\ C_G(H)$. המקרים הקיצוניים הם $\ C_G(1) = G$ (כל איבר של החבורה מתחלף עם איבר היחידה), ו- $\ C_G(G)=Z(G)$, המרכז של החבורה. הדוגמא האחרונה מראה שהמרכז (centralizer) של תת-חבורה מכליל את מושג המרכז (center).

אם $\ H_1 \subseteq H_2$ אז $\ C_G(H_2) \subseteq C_G(H_1)$. תמיד מתקיים $\ H \subseteq C_G(C_G(H))$. משתי עובדות אלו נובע ש- $\ C_G(C_G(C_G(H))) = C_G(H)$.

המרכז של H תמיד מוכל במנרמל של H; למעשה זוהי תת-חבורה נורמלית, ולפי משפט N/C, חבורת המנה משוכנת בחבורת האוטומורפיזמים של H.