חזרה ל[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטיתמשפטים]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.
למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6|עוצמות]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:11BdidaTargil5.pdf|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.
'''הגדרה[http:''' בלוגיקה //en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] היא שפת הבסיס של המתמטיקה, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה הבנויה מפסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"), המחוברים באמצעות קשרים לוגיים (או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים , וגם, שלילה, גרירה) וכמתים (לכל, קיים). '''אקסיומותהוכחה''' המכיל את בשפה זו היא אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.
'''הגדרהלמדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6|עוצמה]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שניתן להוכחה וגם השלילה שלו ניתנת להוכחה11BdidaTargil5.pdf|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.
'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, ''' מערכת אקסיומתית אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (אלו המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים) '''הגדרה:''' מערכת אקסיומטית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שגם הוא וגם השלילה שלו ניתנים להוכחה. '''הגדרה:''' מערכת אקסיומטית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.
===משפט אי השלימות הראשון של גדל===
::--מערכת אקסיומתית אקסיומטית ראוייה הינה היא שלימה אם"ם ורק אם היא אינה עקבית.
במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה.
===משפט אי השלימות השני של גדל===
::--מערכת אקסיומתית אקסיומטית ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה)
במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין לנו דרך להיות בטוחים בכך מעבר ל'''אמונה'''להוכיח את העקביות הזו בתוך התאוריה.
[[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל|הוכחת המשפט]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]