משפט לגראנז' (אינפי)

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט לגראנז'

תהי f פונקציה רציפה בקטע [a,b] וגזירה בקטע (a,b) .

אזי קיימת נקודה c\in (a,b) עבורה מתקיים f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} .

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות \big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big) :

y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.

g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

g רציפה ב- [a,b] כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- (a,b) כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

קל לראות כי g(a)=g(b)=0 . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה c\in(a,b) עבורה מתקיים g'(c)=0 .

אבל:

g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

כלומר

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

כפי שרצינו. \blacksquare

ראו גם