שינויים

<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>\alphaf(a)<y<f(b)</math> בין או <math>f(a),>y>f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש - <math>f(c)=\alphay</math>.

תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש - <math>f(c)=0</math> כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לבין נקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכול "לדלג" על ציר x.)  '''הוכחה.'''נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\frac{a+b}{2})=0</math> סיימנו. אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\frac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\frac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתים כל פעם)היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math> .)

אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים '''הוכחה:'''נגדיר <math>I_nI_1=[a_na,b_nb]</math>. כעת, היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת אם <math>f\lim a_n = left(\lim b_n = c\in [tfrac{a,+b]}{2}\right)=0</math>סיימנו.

כעתאחרת, כיוון שהפונקציה רציפהנחלק את הקטע לשניים, לפי היינה וניקח <math>I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right]</math> או <math>I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

::<math>fנחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (cשכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.

אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלהאם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n, וגם אינסוף ערכים חיובייםb_n]</math>, הגבול חייב להיות אפסהיא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a, כלומר b]</math>

:כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה:<math>\lim\limits_{n\to\infty}f(ca_n)=0\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c)</math>

כעת נחזור למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alphay</math>. כיוון כיון ש - <math>\alphay</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)< 0</math>.

לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c בקטע \in[a,b]</math> כך ש - <math>g(c)=0</math> כלומר, כלומר <math>f(c)=\alphay</math> כפי שרצינו.<math>\blacksquare</math>