משפט קנטור על רציפות במידה שווה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.

הוכחה

תהי f רציפה על קטע סגור וסופי [a,b] . נניח בשלילה שהיא לא-רציפה שם במ"ש. לכן קיים \epsilon>0 , כך שלכל \delta>0 יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

x_n,y_n

כך שמתקיים

x_n-y_n\to 0

אבל

\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל- x_n תת-סדרה מתכנסת x_{n_k} (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה y_{n_k} יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

x'_n-y'_n\to 0
\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon

אבל כיון שזהו קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,

\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)

בסתירה. \blacksquare