משפט רול

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט רול

תהי f פונקציה רציפה בקטע [a,b] וגזירה בקטע (a,b) כך ש- f(a)=f(b) .

אזי קיימת נקודה c\in (a,b) עבורה מתקיים f'(c)=0 .

הוכחה

נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית c\in (a,b) ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.

לפי משפט ויירשטראס השני, כיון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.

נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע [a,b] . על כן, כיון ש- f(a)=f(b) אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.

אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח (a,b) ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.

ראו גם