שינויים

==משפט 10=====הוכחה===לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\lim_{n=1}^\infty s_n(b_n-b_{n-1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}/math> יורדת ו-<math>-1</math> אחרת: <math>\sum_{n=1}^\infty המשך הגיע|S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{nתיאור=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|cמשפט 10|תאריך=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R</math> כלומר הסכום מתכנס12. {{משל}}===הערות ודוגמאות===* משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור <math>b_n</math> מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים <math>\sum_{n=1^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס4.* נניח ש-<math>\{b_n\11}</math> יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n</math> מתכנס. נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^\infty\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))=\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}-\frac12\le\frac12\frac1{\sin(1/2)}+\frac12</math>.

=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}='''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{----\infty}^b f</math>, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

'''תזכורתהגדרה:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty תהי f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: מוגדרת בכל <math>\int\limits_{-\infty}^b fmathbb R</math>. כאשר f נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית ב-אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>(-\infty[a,b]</math> מגדירים . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{mathbb R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f</math> ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זהאז היא אינטגרבילית מקומית.

'''הגדרהתזכורת:''' תהי f מוגדרת בכל ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\mathbb Rint\limits_{-\infty}^\infty f</math>להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>[\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות:* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b]f,\int\limits_b^\infty f</math>מתכנסים. למשל *: עפ"י משפט 2, <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם "ם <math>\int\limits_b^\infty f רציפה למקוטעין ב</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\mathbb Rint\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.* נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אז היא אינטגרבילית מקומיתהם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>.*: ובכן עפ"י משפט 2, <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>\mathbb R</math>. נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק:# שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.# נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>. ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה. =אינטגרל לא אמיתי מסוג שני, סוג II=

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל , אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>). אז לכן נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.

# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to =R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}\right]_{x\to =R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>.# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\toto0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר , ובפרט מתכנס.# דרך קצרהכתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0_{x=0}^1=2</math>.

'''הנחה קבועה:''' נניח ש-למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f ו-,g אינטגרביליות מקומית בקטע ב-<math>(a,b]</math>.

עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+c\int\limits_c^b f</math>. 

תהי F f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> . אזי <math>\lim_{x\to a^+} Ff(x)</math> קיים אם"ם F f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>. ===מסקנה=משפט 4==עבור אם <math>f(x)\ge0</math> אז האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חבומים חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. ==משפט 4 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==