משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/13.3.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמאות נוספות

  1. \int\frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2(x-4)}\mathrm dx: נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-\frac A{x-4}+\frac B{x-3}+\frac C{(x-3)^2}. נשווה מונים: x^2-7x+10=A(x-3)^2+B(x-4)(x-3)+C(x-4) ולכן A=-2,\ B=3,\ C=2. לבסוף נקבל
    \begin{align}\int&=\int\left(\frac{-2}{x-4}+\frac3{x-3}+\frac2{(x-3)^2}\right)\mathrm dx\\&=-2\ln|x-4|+3\ln|x-3|+\frac2{x-3}+c\end{align}
    \blacksquare
  2. \int\frac{2x^4+40x+26}{(x-1)(x^2-2x+5)}\mathrm dx: נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים:
    \begin{align}&2x+6\\&\overline{2x^4+40x+26\ |}\ x^3-3x^2+7x-5\\-\\&\underline{2x^4-6x^3+14x^2-10x}\\&\ \ 0\ \ \ \ \ 6x^3-14x^2+50x+26\\-\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{6x^3-18x^2+42x-30}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 4x^2+\ \,8x+56\end{align}
    ז"א
    \begin{align}\int&=\int\left(2x+6+\frac{4x^2+8x+56}{(x-1)(x^2-2x+5)}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+\int\left(\frac{17}{x-1}+\frac{-13x+29}{(x-1)^2+4}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+17\ln|x-1|-\frac{13}2\ln|(x-1)^2+4|+8\arctan\left(\frac{x-1}2\right)+c\end{align}
    \blacksquare
  3. \int\frac{2x^3-x+1}{\left(x^4-1\right)^3\left(x^2-3x+2\right)^2x^4}\mathrm dx: נפרק את המכנה ונקבל (x-1)^5(x+1)^3\left(x^2+1\right)^3(x-2)^2x^4. לכן האינטגרנד הוא
    \begin{align}&\frac A{x-1}+\frac B{(x-1)^2}+\frac C{(x-1)^3}+\frac D{(x-1)^4}+\frac E{(x-1)^5}\\+&\frac F{x+1}+\frac G{(x+1)^2}+\frac H{(x+1)^3}\\+&\frac{Ix+J}{x^2+1}+\frac{Kx+L}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{Mx+N}{\left(x^2+1\right)^3}\\+&\frac O{x-2}+\frac P{(x-2)^2}\\+&\frac Qx+\frac R{x^2}+\frac S{x^3}+\frac T{x^4}\end{align}
    עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל. \blacksquare

אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos

נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את \int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx. למשל, אם R(x,y)=\frac{3x^3-2xy^5+7}{xy^3-x^2y^3} אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-R(\cos(x),\sin(x))=\frac{3\cos^3(x)-2\cos(x)\sin^5(x)+7}{\cos(x)\sin^3(x)-\cos^2(x)\sin^3(x)}.

דוגמאות פרטית

  1. \begin{align}\int&=\int\left(\sin^2(x)\cos^3(x)-\sin(x)\cos^5(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)\cos^4(x)\right)\cos(x)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\left(1-\sin^2(x)\right)-\sin(x)\left(1-\sin^2(x)\right)^2\right)\cos(x)\mathrm dx\end{align}
    נציב y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx ואז
    \begin{align}\int&=\int\left(y^2\left(1-y^2\right)-y\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\int\left(y^2-y^4-\frac{2y}2\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\frac{y^3}3-\frac{y^5}5+\frac12\frac{\left(1-y^2\right)^3}3+c\\&=\frac{\sin^3(x)}3-\frac{\sin^5(x)}5+\frac{\cos^6(x)}6+c\end{align}
    \blacksquare
  2. \begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(x)\sin^3(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\sin^2(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\sin(x)\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)}{2\cos(x)+\left(1-\cos^2(x)\right)+3}\sin(x)\mathrm dx\end{align}
    נציב y=\cos(x)\implies\mathrm dy=-\sin(x)\mathrm dx. לכן:
    \begin{align}\int&=\int\frac{3y\left(1-y^2\right)}{2y+4-y^2}(-\mathrm dy)\\&=-\int\frac{3y^3-3y}{y^2-2y-4}\\&=\int\left(3y+6+\frac{21y+24}{y^2-2y-4}\right)\mathrm dy\\&=\frac32y^2+6y+\int\frac{A\mathrm dy}{y-\frac{2+\sqrt{4+16}}2}+\int\frac{B\mathrm dy}{y-\frac{2-\sqrt{4+16}}2}+c\\&=\frac32y^2+6y+\frac{21+9\sqrt5}2\ln\left|y-1-\sqrt5\right|+\frac{21-9\sqrt5}2\ln\left|y-1+\sqrt5\right|+c\\&=\dots\end{align}
    \blacksquare

כללים: באינטגרל \int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx:

  • אם R(-\cos(x),\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x)) אז תועיל ההצבה y=\sin(x).
  • אם R(\cos(x),-\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x)) נציב y=\cos(x).
  • אם R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x)) נציב y=\tan(x).
  • בכל מקרה תועיל ההצבה t=\tan\left(\frac x2\right), שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של t, והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:
  • x=2\arctan(t) ולכן \mathrm dx=\frac2{1+t^2}\mathrm dt.
  • 1+t^2=1+\tan^2\left(\frac x2\right)=\sec^2\left(\frac x2\right), לפיכך \frac{1+\cos(x)}2=\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac1{1+t^2} ונקבל \cos(x)=\frac2{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
  • \sin(x)=2\sin\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac x2\right)=2t\cdot\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac{2t}{1+t^2}.

דוגמה

חשבו \int\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}.

פתרון

נציב t=\tan\left(\frac x2\right) ולכן
\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}

\blacksquare