שינויים

נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f</math> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.

לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול <math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n</math>, שהוכחנו ששווה והוא שווה ל-<math>\int\limits_a^b S</math>. {{משל}}