# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}}
'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע ׳׳׳סופי׳׳׳ סופי של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.
'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.