יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S</math> במובן הרחב אז <math>S=R</math>.
===הוכחה===
יהי x כרצוננו ונוכיח שאם <math>|x-x_0|<S</math> אז הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>S</math> אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-<math>b_n=a_n(x-x_0)^n</math> ולכן אם <math>|x-x_0|<S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S<1</math> ואם <math>|x-x_0|>S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S<>1</math>. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|<S</math> (ולכן <math>S\le R</math>) ואינו מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|>S</math> (ולכן <math>S\ge R</math>). מכאן ש-<math>R=S</math>. {{משל}}
===דוגמאות===
בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.
===דוגמאות נוספות===
# נקח <math>f(x)=\sin(x)</math> ו-<math>x_0=0</math>. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל <math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, בתנאי ש-<math>R_N(x)\to0</math>. נוכיח שזה אכן מתקיים: <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-<math>\sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\}</math> ולכן <math>|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. עתה יהי <math>x\in\mathbb R</math> מסויים וניצור סדרה <math>\{a_N\}</math> כך ש-<math>a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. נותר להוכיח ש-<math>a_N\to0</math>, ולכן מספיק להוכיח ש-<math>\sum_{N=0}^\infty a_N</math> מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0</math>. {{משל}}
# נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> ונוכיח ש-f גזירה <math>\infty</math> פעמים ב-<math>\mathbb R</math> וש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0</math>.<br/>''טענה 1:'' אם <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית אזי <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0</math>. '''הוכחה:''' קיים <math>m\in\mathbb N\cup\{0\}</math> כך ש-<math>q(x)=x^m\cdot r(x)</math> עבור פולינום r שמקיים <math>r(0)\ne0</math>. לפיכך, עבור <math>y=\frac1xfrac1{x^2}</math>, <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^m}=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{y\to\infty}\frac{e^{-y}}{\left(1/\sqrt y\right)^m}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{m/2}}{e^y}</math>, ואחרי הפעלת כלל לופיטל <math>\left\lceil\frac m2\right\rceil</math> פעמים נקבל 0.<br/>''טענה 2:'' לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכל <math>x\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(n)}(x)=e^{-\frac1{x^2}}g_n(x)</math> עבור פונקציה רציונלית <math>g_n</math> כלשהי כך ש-<math>f^{(n)}(0)=0</math>. '''הוכחה:''' נוכיח באינדוקציה. עבור <math>n=1</math>: <math>f'(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}e^{-\frac1{x^2}}=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=g_1(x)e^{-\frac1{x^2}}</math> וכן <math>f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור <math>n+1</math>: <math>f^{(n+1)}(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}=e^{-\frac1{x^2}}\left(g_n'(x)+\frac2{x^3}g_n(x)\right)</math>. כמו כן <math>f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}-0}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה 0. {{משל}} נובע מכך שטור מקלורן של f הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum0</math>, שלא שווה ל-<math>f(x)</math> לכל x מלבד 0.
==משפט 3==
יהי טור חזקות <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> יש בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי:
# בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> מוגדרת פונקציה גבולית רציפה <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>.
# בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.