משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11

מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)

3. שיטת הטרפזים

   
   נעשה חלוקה שווה של $[a,b]$: $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$, כאשר $x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h$. חלוקת הקטע $[a,b]$ משרה חלוקת הגרף $y=f(x)$. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל $[x_{k-1},x_k]$ יש רוחב h ושני גבהים $f(x_{k-1}),\ f(x_k)$. לכן שטח אותו טרפז הוא $\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h$, והקירוב לאינטגרל הוא
   $\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+2\frac{f(x_1)}2+2\frac{f(x_2)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}$

   נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g $I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx$ וכן $T(g)$ הקירוב של $I(g)$ ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים $[x_{k-1},x_k]$ ונעריך את הטעות בו, השווה ל-$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)$. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

   כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-$[a,b]$ ונסמן $M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|$. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה $x_{k-1}$: $f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}$, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.

   לפיכך $I(f)=I(P)+I(R)$, $T(f)=T(P)+T(R)$ והשארית $I(f)-T(f)$ היא $I(P)-T(P)+I(R)-T(R)$, ומכיוון ש-P לינארית $I(P)-T(P)=0$, כלומר השארית היא $I(R)-T(R)$. נחשב:
   $\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}$
   וכן
   $\begin{align}|T(R)|&=\left|\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\right|\\&=\left|\frac{f''(c)}4h^3\right|\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}$

   בסה"כ הטעות בקטע $[x_{k-1},x_k]$ חסומה ע"י $\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6$. יש n קטעים כאלה, לכן $|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)$.

4. כלל סימפסון (Simpson's Role)

   שוב נקרב את $\int\limits_a^b f$ בעזרת חלוקה שווה $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n$, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא $S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)$. למעשה, סימפסון מקרב $\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f$ ע"י $\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)$

   לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):

   • נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי $[-R,R]$ אזי $\int\limits_{-R}^R f=0$. הוכחה: נסמן $I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f$ ולכן $I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f$. ב-$I_1$ נציב $t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx$ ונקבל $I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2$. $\blacksquare$
   • נניח ש-f רציפה בסביבה של $x_0$ וגזירה בסביבה מנוקבת של $x_0$. עוד נניח שקיים $\lim_{x\to x_0}f'(x)=L$. אזי $f'(x_0)$ קיים ושווה ל-L. הוכחה: לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-$x_0$ אזי $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-$\lim_{x\to x_0} f'(c)$ עבור $c$ כלשהו בין $x$ ל-$x_0$. לכן, כאשר $x\to x_0$ גם $c\to x_0$ ונקבל $L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$. $\blacksquare$

   נחזור לכלל סימפסון.

   שלב א

   נניח ש-$h>0$ ו-$p(x)$ פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-$\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\Big(p(-h)+4p(0)+p(h)\Big)\implies I(p)=S(p)$ (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-$[-h,h]$ הגדרנו $I(f)=\int\limits_{-h}^h f$).

   הוכחה

   לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) $p(x)=\sum_{k=0}^3 \alpha_kx^k$ מתקיים
   $\begin{align}I(p)&=\sum_{k=0}^3 \int\limits_{-h}^h \alpha_kx^k\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^3 \left[\alpha_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{x=-h}^h\\&=2h\alpha_0+0+\frac23h^3\alpha_2+0\\&=\frac h3\left(6\alpha_0+2h^2\alpha_2\right)\\&=\frac h3\Big(\left(\alpha_0-h\alpha_1+h^2\alpha_2-h^3\alpha_3\right)+4\alpha_0+\left(\alpha_0+h\alpha_1+h^2\alpha_2+h^3\alpha_3\right)\Big)\\&=S(p)\end{align}$

   שלב ב

   נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע $[-h,h]$ ונסמן $M=\max_{x\in[-h,h]}\left|f^{(4)}(x)\right|$. נעריך את הטעות: $\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)=I(f)-S(f)$. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, $f(x)=P_3(x)+R_3(x)$. לכן $I(f)-S(f)=\underbrace{I(P_3)-S(P_3)}_0+I(R_3)-S(R_3)$. כזכור $R_3(x)=\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}$. נעריך:
   $\begin{align}|I(R_3)|&=\left|\int\limits_{-h}^h\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}\mathrm dx\right|\\&\le\frac M{4!}\int\limits_{-h}^h\left|x^4\right|\mathrm dx\\&=\frac M{24}\left[\frac{x^5}5\right]_{x=-h}^h\\&=\frac{Mh^5}{60}\end{align}$
   $\begin{align}|S(R_3)|&=\left|\frac h3\Big(R_3(-h)+4R_3(0)+R_3(h)\Big)\right|\\&=\frac h3\left|\frac{f^{(4)}(c_1)}{4!}h^4+\frac{f^{(4)}(c_2)}{4!}h^4\right|\\&\le\frac M{36}\cdot h^5\end{align}$

   מכל זה, יוצא ש: $|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5$.

   שלב ג

   נוכיח כי לכל k שעבורו $1\le k\le n-1$ מתקיים $\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac h3\left(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)$

   הוכחה

   באינטגרל $I(f)$ נציב $t=x-x_k$ כדי לקבל $I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt$. ניצור פונקציה $g:t\mapsto f(t+x_k)$ ונבנה $S(g)$ ב-$[-h,h]$ כמו שעשינו בשלב ב:
   $\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}$

   כמו כן, מכיוון ש-$g(x)=f(x+x_k)$ מתקיים $M=\max_{x\in[-h,h]}\left|g^{(4)}(x)\right|=\max_{x\in[x_{k-1},x_{k+1}]}\left|f^{(4)}(x)\right|$, ומכל זה נובע $I_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)-S_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)=I_{[-h,h]}(g)-S_{[-h,h]}(g)\le\frac2{45}Mh^5$.

   סיכום

   מצאנו שעל כל תת קטע $[x_{k-1},x_{k+1}]$ הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י $\frac2{45}Mh^5$. יש $\frac n2$ קטעים כאלה, ומכיוון ש-$h=\frac{b-a}n\implies n=\frac{b-a}h$ הטעות חסומה ע"י $\frac2{45}Mh^5\frac{b-a}{2h}=\frac{Mh^4(b-a)}{45}$.

   הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י $\frac{Mh^4(b-a)}{180}$.