שינויים

{{הערההמשך הגיע|את תיאור=דוגמה 4 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותה ב-31.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/|תאריך=29.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

נעזר בסכימה בחלקים: נסמן <math>S_N=\sum_{n=0}^N a_n</math> ולכן <math>\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N</math> כאשר <math>-1<x<1</math>. לפי הנתון <math>S=\lim_{N\to\infty}S_N</math>, ולכן אם <math>0<x<1</math> אז <math>\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0</math> ועבור <math>0\le x\le 1</math> מתקיים <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n</math>. כמו כן, <math>\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\sum)sum_{n=0}^\infty=\sum_{n=0}Y\infty x^n=1</math> (כי <math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math>). לכן <math>S=(1-x)\sum_{n=10}^\infty Sx^n</math> ומכאן שעבור <math>x\in[0,1)</math> מתקיים <math>f(x)-S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty(S_n-S)x^n</math>. נרצה להוכיח ש-<math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון ומכיוון ש-<math>\lim_{n\to\infty}S_n=S</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים <math>|S_n-S|<\frac\varepsilon2</math>. נסמן <math>I_1=(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}(S_n-S)x^n</math> וכן <math>I_2=(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty(S_n-S)x^n</math>, לכן <math>f(x)-S=I_1+I_2</math>. עתה <math>|I_2|\le(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty|S_n-S|x^n<\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty x^n\le\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac\varepsilon2</math>. לגבי <math>I_1</math> נגדיר <math>M=\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math> ולכן <math>|I_1|\le(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math>. עתה <math>x\to1^-</math> ולכן <math>0<1-x<\frac\varepsilon{2M}</math>, לכן <math>|I_1|\le\frac\varepsilon{2M}M=\frac\varepsilon2</math>. לסיכום הוכחנו שאם <math>1-\frac\varepsilon{2M}<x<1</math> אזי <math>|f(x)-S|<|I_1|+|I_2|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>. {{משל}}

# אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> מתכנס ל-T אזי <math>\lim_{x\to (x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה ל-T.

במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו וירשטראס ויירשראס יש תת סדרה <math>\{x_{k_l}\}</math> השואפת מתכנסת, נאמר ל-<math>x_0\in[a,b]</math>. לפי הבניה הבנייה הנ"ל מתקיים <math>\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math> ומכיוון ש-<math>\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0</math> קיים <math>l_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>l>l_0</math> יתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2</math>. <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> פונקציה רציפה שקטנה מ-<math>\frac\varepsilon2</math> ב-<math>x_0</math> ולכן יש סביבה S של <math>x_0</math> שבה <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> קטנה מ-<math>\varepsilon</math>. ה-<math>g_n</math> יורדות ולכן לכל <math>l>l_0</math> ולכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon</math>, אבל לפי הבנייה <math>x_{k_l}\to x_0</math> ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon</math>, בסתירה לכך שלכל l מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math>. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.

==השתנות חסומה==אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי. '''פורמלית:''' נתונה פונקציה <math>f:[a,b]\to\mathbb R</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math> (נקראת "ההשתנות הכללית של הפונקציה") בתור <math>\sup_P v(P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה. נעיר שאם f רציפה ו-P היא חלוקת הקטע שנקודותיה הן כל נקודות הקיצון של f, אזי <math>\overset b\underset aV f=v(Pהגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה)</math>.

* [[קובץ:X sin(1 over x).png|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>x\sin\left(\frac1x\right)</math></div>באדום: <math>y=\pm x</math>]]נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר <math>x\to0^+</math> גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל <math>n\in\mathbb N</math> הפונקציה מתאפסת יש לפונקציה נקודת קיצון ב-<math>\frac1{\pi n+\pi/2}</math>, וב-<math>\left[\frac1tfrac1{\pi(n+1)+\pi/2},\frac1tfrac1{\pi n+\pi/2}\right]</math> היא עולה או יורדת מהקו <math>y=\pm x</math> ל-<math>y=\mp x</math>, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא <math>\frac1{\pi(n+1)+\pi/2}+\frac1{\pi n+\pi/2}</math>, שגדול מ-<math>\frac2{\pi(n+1)+\pi/2}</math>. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-<math>(0,1)</math> גדולה מ-<math>\sum_{n=1}^\infty \frac2{\pi(n+1)+\pi/2}=\infty</math>, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-<math>(0,1)</math>. {{משל}}