במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}}
==השתנות חסומה==אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי. '''פורמלית:''' נתונה פונקציה <math>f:[a,b]\to\mathbb R</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math> (נקראת "ההשתנות הכללית של הפונקציה") בתור <math>\sup_P v(P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה. נעיר שאם f רציפה ו-P היא חלוקת הקטע שנקודותיה הן כל נקודות הקיצון של f, אזי <math>\overset b\underset aV f=v(Pהגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה)</math>.
===דוגמאות===