שינויים

גרף (1)

היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבוהראשונה.

=== אינטגרבליות לפי דרבו ===

תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)]} f(x)</math>. לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן ו-<math>\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.

<math>\overline underline I:=\infsup\{\overline underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>}}אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

==דוגמה 1==הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>\underline I=\sup\{\underline Sf(Tx):\ =x</math> חלוקה אינטגרבילית בקטע <math>T\}[0,1]</math>ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

<math>\overline I=\underline I</math>==פתרון==='''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.

'''דוגמה 1דרך 2:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>g(\Delta x)=x\frac1n</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

'''פתרון:''' ''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש. ''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1</math>. , ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.

(נשים לב כי נחשב:{{left|<math>f\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(xn+1)}2=x\frac12</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)

לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i ntfrac12</math>. {{משל}}

..'''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>.

אם נראה כי ==דוגמה 2==חשב את השטח שמתחת לעקומה <math>\overline Iy=\underline I9-x^2</math> נקבל כי בקטע <math>[0,3]</math>. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

עבור ===פתרון===באופן כללי צריך לבחור חלוקה <math>T_n</math> שעבורה <math>\lambda(T_n)\overline Ito0</math> נרשום, למשל <math>x_i=\frac{3i}n</math> כאשר <math>n\to\infty</math> (ולכן <math>\Delta x_i=\frac3n\to0</math>). נבנה סכום דרבו מתאים:{|{{=|l=\underline S |r=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right) |c=ברור ש-<math>m_i=\overline Iinf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2</math> ולכן:}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac1frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right)}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=10}^n i^2}}{{=</math>...|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6}}{{=|r=27-\frac{27\cdot2}6}}{{=|r=18}}|}

באופן דומה באותו אופן מגיעים ל-<math>\underline Ioverline S=18</math> ולכן <math>\lim_{nint\to\infty}\frac1{nlimits_0^2}\sum_{i3 f=1}^n i=\lim_18</math>. {n\to\infty}\frac{(n-1)nמשל}{2}=\frac12</math>

'''מסכנה==דוגמה 3==הוכח או הפרך:''' אם {{ltr|{{!}}f {{!}}}} אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא ב-<math>\tfrac12[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה ===פתרון==='''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\Delta begin{cases}1&x\to0in\impliesmathbb Q\overline .I=\underline I-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math>(כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

----'''''יש טעות, היא תתוקן בהמשך''הערה:'''זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0</math>.

'''דוגמה 2הערה:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאליתנראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). קבע בפרוט אם f אינטגרביליתהפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

'''פתרון==דוגמה 4==הוכח או הפרך:''' ''תזכורת:'' חייבים אם f חסומה ב-<math>x_k^[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\starsubset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

נחלק את הקטע ===פתרון==='''הוכחה:''' יהי <math>[\varepsilon>0,3]</math>, נבחר נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה המקיימת <math>T_\Delta x\to0varepsilon</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\Delta x=overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\frac3nvarepsilon</math>.

כאשר נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>k[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\invarepsilon'}</math> של <math>[c,b]</math> עבורה מתקיים <math>\overline S(T_{0,1,2,\dotsvarepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math> מתקיים . נגדיר <math>T_\Delta x_kvarepsilon:=\fracT_{3k\varepsilon'}\cup\{na\}</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:{{left|<math>\underline overline S(T_\varepsilon)=\lim_sup_{\Delta x\to0in[a,c]}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x)\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9c-(\Delta x\cdot ka)^2)=+\lim_overline S(T_{\Delta x\to0varepsilon'}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>----'''ד<math>|f|</math>וגמה 3:''' הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

<math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'''פתרון})</math>}}לכן:{|{{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) |r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'' הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה })-m(c-a) |c=נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m:=\begininf_{cases}1\quad x\in[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:}}{{=|r=(M-m)(c-a)+\mathbb Q\overline S(T_{\varepsilon'})-1\quad xunderline S(T_{\notvarepsilon'})}}{{=|r=\infrac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 |o=\le |c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\mathbb Qfrac\endvarepsilon{cases2}</math>. ברור (קיים כי כאשר <math>|f|a<c\to a</math> אינטגרבילית מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(כי היא קבועהc-a). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.(M-m)\to0</math>)}}{{=|r=\varepsilon}}|}{{משל}}

'''הערה:''' זוהי ==דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס5==חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)</math>.

'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע)===פתרון===נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. הפתרון במקרה זה יפה יותרנסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.

'''דוגמה 4:''' הוכח או הפרך: אם f חסומה בלפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[a,be^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> ולכל (הפונקציה הקדומה של <math>[c,d]\subseteq[a,b]e^x</math> f אינטגרבילית ב-היא <math>[c,d]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]e^x</math>).{{משל}}

'''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> המקיימת ב-<math>[a,b]</math> ש-<math>\overline S(T_c)-\underline S(T_c)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon</math>. נשים לב כי<math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math> ו-<math>T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math>.

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. '''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math> ובאופן דומה: תהיה אינטגרבילית ב-<math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,cb]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>הוא ש-f חסומה בקטע.

'''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>...{{משל}}

==דוגמה 6==קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:<ol><li><math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.===פתרון==='''דוגמה 5לא אינטגרבילית:''' חשב מתקיים <math>\lim_{nk\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}</li><li><math>f(x)=\begin{cases}\frac1nsin\left(e^\frac1n+e^frac1x\frac2n+right)&x\dots+e^ne0\\0&x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.===פתרון==='''כן אינטגרבילית:''' נשים לב כי <math>-1\le\sin\left(\fracnnfrac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}</li></ol>