משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

f_n סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע [a,b] ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף \{f_n(x)\} סדרה עולה לכל x\in[a,b]. אזי f_n מתכנסת במ"ש ב-[a,b].

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)} בקטע

  1. \left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right]

    פתרון

    נשים לב שעבור x בקטע \sin(x)>0. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1, שרציפה. כמו כן ברור כי f_n רציפות ובקטע מתקיים \sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. \blacksquare
  2. (0,\pi)

    פתרון

    נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול f(x)=1 ומכיוון ש-\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0 ההתכנסות אינה במ"ש. \blacksquare

דוגמה 2

קבעו אם הטור \sum_{n=1}^\infty x^{2n} מתכנס ב-\left[-\tfrac34,\tfrac34\right].

פתרון

נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: \sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. \blacksquare

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם f_n:[a,b]\to[c,d] סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן g:[c,d]\to\mathbb R פונקציה רציפה אז g\circ f_n היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול g\circ f.

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל \varepsilon>0 יש \delta>0 כך שאם |y_1-y_2|<\delta אז |g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon. בנוסף נתון ש-f_n מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל n>N מתקיים |f_n(x)-f(x)|<\delta (בפרט אפשר לבחור \varepsilon=\delta). נשים לב ש-g\circ f_n מוגדרת היטב לכל a\le x\le b ועבור n>N מתקיים |g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon. מכאן ש-g\circ f_n\to g\circ f במ"ש. \blacksquare

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי \sum f_n(x) טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים \sum a_n כך שלכל n גדול מספיק ולכל x\in I מתקיים |f_n(x)|\le a_n אז \sum f_n(x) מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n מתכנס במ"ש ב-[0,1].

פתרון

נרשום את הטור כ-\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n נסמן f(x)=x(1-x) ונחסום אותה: f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x ולכן f'(x)=0\iff x=\frac12, שהיא מקסימום כי f''(1/2)=-2<0. נותר לבדוק את קצוות הקטע: f(0)=f(1)=0. נסיק ש-x=\frac12 היא נקודת קיצון גלובלית וכן-f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n. \sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n} מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n מתכנס במ"ש. \blacksquare

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

תהי f_n סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f.

דוגמה 5

קבע האם \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n מתכנס כאשר f_n(x)=nxe^{-nx^2} ב-[0,1], והאם f_n\to f במ"ש.

פתרון

נציב y=x^2 ואז \int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12, כלומר \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n אכן מתכנס. נותר לבדוק אם \{f_n\} מתכנסת במ"ש:

דרך 1: f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0 (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. \blacksquare

דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-f_n(x): 0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1) ונקבל x=\frac1\sqrt{2n}. לכן \sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0 ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. \blacksquare