שינויים

<div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div><div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div>נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>. ==נפח גוף סיבוב==נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה <math>V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx</math>.===דוגמה 4===חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה <math>y^2=8x</math> סביב ציר ה-x, עד לישר <math>x=2</math>.====פתרון====<math>y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}</math>. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של <math>\sqrt{8x}</math> בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, <math>V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi</math>. ===דוגמה 5===מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.====פתרון====ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> ולכן בחצי המישור העליון <math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. הנפח הוא <math>\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3</math>. ===דוגמה 6===מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים <math>f(x)=\frac12+x^2</math> ו-<math>g(x)=x</math> בקטע <math>[0,2]</math>.====פתרון====נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: <math>\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R</math>, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא <math>\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi</math>. ---- נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע <math>[a,b]</math> נתון ע"י הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx</math>. ===דוגמה 7===חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י <math>y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4</math> סביב ציר ה-y.====פתרון====לפי הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi</math>. ===דוגמה 8===חשב את נפח התחום שמתחת ל-<math>y=x^2</math> בקטע <math>[0,2]</math> המסתובב סביב ציר ה-x.====פתרון====<math>\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi</math>.