נחלק לשני אינטגרלים <math>\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty</math>. עבור <math>x\in(0,1]</math> מתקיים <math>x+x^2\ge x</math>, לכן <math>\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x</math>. ברור ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x</math> מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, <math>\int\limits_0^1</math> מתכנס.
עבור <math>x\in[1,\infty)</math> מתקיים <math>\frac1\sqrt{x2x^32}\gele\frac1\sqrt{x+x^2}</math>. נל <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}</math> , ולכן גם כן מתכנס האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנסמתבדר. {{משל}}
{{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}}
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול.
==הגדרות==
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0\in(0,1):\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0\in(0,1):\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}}