הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

גרסה מ־14:36, 28 בינואר 2013

הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

שאלה 3

סעיף א

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

נשים לב שבסכום זה יש $n$ מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב $n$ אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.

במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.

נגדיר:

$b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

בגלל ש $n^2+1<n^2+i$ (כאשר $1\leq i\leq n$ )

ברור ש

$\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$

ולכן $a_n\leq b_n$

בצורה דומה נגדיר

$c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$

ויתקיים

$c_n\leq a_n$

$\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1$

ו

$\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1$

לכן לפי כלל הסנדויץ

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
+==שאלה 3==
+===סעיף א===
+<math>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}</math>
+נשים לב שבסכום זה יש <math>n</math> מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב <math>n</math> אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
+במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
+נגדיר:
+<math>b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}</math>
+בגלל ש <math>n^2+1<n^2+i</math> (כאשר <math>1\leq i\leq n</math>)
+ברור ש
+<math>\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} </math>
+ולכן <math>a_n\leq b_n</math>
+בצורה דומה נגדיר
+<math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}</math>
+ויתקיים
+<math>c_n\leq a_n</math>
+<math>\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}
+=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1
+</math>
+ו
+<math>\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}
+=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1
+</math>
+לכן לפי כלל הסנדויץ
+<math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

גרסה מ־14:36, 28 בינואר 2013

שאלה 3

סעיף א

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים