|
|
שורה 2: |
שורה 2: |
| | | |
| | | |
− | ===סעיף ב=== | + | ==שאלה 5== |
− | *חלק א':
| + | |
− | | + | |
− | נשים לב שהטור
| + | |
− | | + | |
− | <math>\sum_{i=2}^{\infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}</math>
| + | |
− | | + | |
− | הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
| + | |
− | | + | |
− | נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
| + | |
− | | + | |
− | נביט על הסדרה:
| + | |
− | | + | |
− | <math>\sqrt[n]{{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}}={(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}</math>
| + | |
− | | + | |
− | נחשב את הגבול
| + | |
− | | + | |
− | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n+1}
| + | |
− | \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{-2}
| + | |
− | =\lim_{n\rightarrow \infty}{(1-\frac{2}{n+1})}^{n+1} \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n-1})}^2
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | =e^{-2} \lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{2}{n-1})}^2
| + | |
− | =e^{-2}
| + | |
− | <1
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | (שימו לב ש
| + | |
− | | + | |
− | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{a_n})}^{a_n}=e^x</math> כאשר
| + | |
− | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty</math>
| + | |
− | )
| + | |
− | | + | |
− | ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס
| + | |