הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

גרסה מ־06:38, 1 בפברואר 2013

נשים לב ש

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$

זה ממוצע של הערכים

$f(x_1),\ldots , f(x_n)$

מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.

כלומר קיימים $i_0,i_1$ עבורם

$f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}$

ואז נקבל

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})$

ובאופן דומה

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})$

נניח בלי הגבלת כלליות ש $x_{i_0}<x_{i_1}$

ראינו שהערך $\sum_{i=1}^n f(x_i)$

נמצא בין $f(x_{i_0})$ ל $f(x_{i_1})$

וברור ש $f$ רציפה על $[x_{i_0},x_{i_1}]$

לכן לפי משפט ערך הביניים קיים

$c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)$

כך ש:

$f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)$

וזה מראה את מה שנדרש

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
-==שאלה 5==
+===סעיף ב===
+נשים לב ש
+<math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math>
+זה ממוצע של הערכים
+<math>f(x_1),\ldots , f(x_n)</math>
+מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.
+כלומר קיימים <math>i_0,i_1</math> עבורם
+<math>f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}</math>
+ואז נקבל
+<math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})</math>
+ובאופן דומה
+<math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})</math>
+נניח בלי הגבלת כלליות ש
+<math>x_{i_0}<x_{i_1}</math>
+ראינו שהערך
+<math>\sum_{i=1}^n f(x_i)</math>
+נמצא בין <math>f(x_{i_0})</math> ל <math>f(x_{i_1})</math>
+וברור ש <math>f</math>
+רציפה על
+<math>[x_{i_0},x_{i_1}]</math>
+לכן לפי משפט ערך הביניים קיים
+<math>c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)</math>
+כך ש:
+<math>f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)</math>
+וזה מראה את מה שנדרש