|
|
| שורה 70: |
שורה 70: |
| | | | |
| | ולכן <math>f</math> דיפרנציאבילית ב <math>(0,0,0)</math>. | | ולכן <math>f</math> דיפרנציאבילית ב <math>(0,0,0)</math>. |
| − |
| |
| − | ==שאלה 3==
| |
| − |
| |
| − | <math>x^2+y^2=\frac{1}{2}z^2</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>x+y+z=2</math>
| |
| − |
| |
| − | הנגזרות החלקיות של הפונקציות
| |
| − |
| |
| − | <math>f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0</math>
| |
| − |
| |
| − | קיימות עד איזה סדר שרוצים.
| |
| − |
| |
| − | כמו כן, הנקודה <math>(1,-1,2)</math> מקיימת את מערכת המשוואות.
| |
| − |
| |
| − | נבדוק את התנאי של משפט הפונקציה הסתומה
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
| |
| − | \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
| |
| − | =\begin{bmatrix}
| |
| − | 2x & 2y \\
| |
| − | 1 & 1 \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | בנקודה <math>(1,-1,2)</math> נקבל את המטריצה
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | 2 & -2 \\
| |
| − | 1 & 1 \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | שהיא מטריצה הפיכה.
| |
| − |
| |
| − | לכן לפי משפט הפונקציה הסתומה, אכן מוגדרות פונקציות של
| |
| − | <math>x,y</math> לפי <math>z</math>
| |
| − |
| |
| − | לפי משפט הפונקציה הסתומה, קיימת סביבה של הנקודה
| |
| − |
| |
| − | <math>(1,-1,2)</math> שבה מתקיים:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
| |
| − | \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{dx}{dz} \\
| |
| − | \frac{dy}{dz}
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | =
| |
| − | -\begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{\partial f_1}{\partial z} \\
| |
| − | \frac{\partial f_1}{\partial z} \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | כלומר במקרה שלנו:
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{bmatrix}
| |
| − | 2x & 2y \\
| |
| − | 1 & 1 \end{bmatrix}
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{dx}{dz} \\
| |
| − | \frac{dy}{dz}
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | =
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | z \\
| |
| − | -1 \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | אם פותרים את המשוואות
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | רואים ש
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{dx}{dz} \\
| |
| − | \frac{dy}{dz}
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | =
| |
| − | \frac{1}{2x-2y}
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | 1 & -2y \\
| |
| − | -1 & 2x \end{bmatrix}
| |
| − | \begin{bmatrix}
| |
| − | z \\
| |
| − | -1 \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | כלומר:
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac{dx}{dz} = \frac{z+2y}{2x-2y},\quad \frac{dy}{dz}=\frac{-z-2x}{2x-2y} </math>
| |
| − |
| |
| − | מכאן, על ידי הצבה של <math>(1,-1,2)</math> קל לראות שבנקודה <math>z=2</math> מתקיים
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac{dx}{dz}(2)=0,\quad \frac{dy}{dz}(2)=-1</math>
| |
| − |
| |
| − | כמו כן נחשב את <math>x''(z)</math> בסביבה של <math>(1,-1,2)</math> על ידי גזירה רגילה לפי <math>z</math> (אבל נשים לב ש <math>x,y</math> הם פונקציות של <math>z</math>):
| |
| − |
| |
| − | <math>x''(z)=\frac{(1+2y')(2x-2y)-(z+2y)(2x'-2y')}{(2x-2y)^2}</math>
| |
| − |
| |
| − | נציב <math>x=1,y=-1,z=2,x'=0,y'=-1</math> ונקבל:
| |
| − |
| |
| − | <math>x''(2)=\frac{(1-2)4-(0)(0+2)}{16}=-\frac{1}{4}</math>
| |
פשוט גוזרים את הפונקציה לפי 
קל לראות ש
קל לראות שגם 
ו 
.
רציפה (לא חייבים, אבל בדר"כ שווה לבדוק. כי אם היא לא רציפה אז ברור שהיא לא דיפרנציאבילית).
המוגדרת לפי:
בנקודה 
.
):
