הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 29: שורה 29:
  
 
<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
 
<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
 +
 +
עכשיו צריך לסווג
 +
 +
מטריצת ההסיאן היא:
 +
 +
\begin{bmatrix}
 +
6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\
 +
6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y
 +
\end{bmatrix}
 +
 +
כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי.
 +
 +
אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
 +
 +
\begin{bmatrix}
 +
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\
 +
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}
 +
\end{bmatrix}
 +
=
 +
\begin{bmatrix}
 +
-\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\
 +
-\frac{1}{12} & -\frac{1}{8}
 +
\end{bmatrix}
 +
 +
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
 +
 +
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
 +
 +
נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>.
 +
 +
נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>.
 +
 +
אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>).
 +
 +
אז
 +
 +
<math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math>
 +
 +
אם <math>y_0>1</math>  אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math>
 +
 +
אם <math>y_0<1</math>  אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math>
 +
 +
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
 +
 +
נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>. נתקדם לאור הישר <math>y=1</math> ונקבל ש
 +
 +
<math>f(x,1)=</math>

גרסה מ־19:18, 5 בפברואר 2013


f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3

הגרדיאנט הוא:

\nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2)

אם נשווה אותו ל (0,0) ונקבל:

3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0

2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0

נקבל שאם x=0 או y=0 שתי המשוואות מתקיימות.

אם x\neq 0 ,\quad y\neq 0, נקבל שהמשוואות הן:

3-4x-3y=0

2-2x-3y=0

הפתרון של המערכת הזאת הוא:

(\frac{1}{2},\frac{1}{3})

ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:

\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}

עכשיו צריך לסווג

מטריצת ההסיאן היא:

\begin{bmatrix} 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y \end{bmatrix}

כמובן שהצבה של x=0 או y=0 לא תקדם אותנו יותר מדי.

אם נציב (\frac{1}{2},\frac{1}{3}) נקבל (אם אין לי טעות חישוב):

\begin{bmatrix} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}

המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.

עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.

נתחיל בנקודות שעל ציר y.

נביט על נקודה כלשהיא (0,y_0).

אם נתקדם לאורך הישר y=-x+y_0 (שעובר כמובן ב (0,y_0)).

אז

f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)

אם y_0>1 אז הפונקציה שלנו שלילית כש x>0 וחיובית כש x<0

אם y_0<1 אז הפונקציה שלנו חיובית כש x>0 ושלילית כש x<0

בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.

נותר לבדוק את הנקודה (0,1). נתקדם לאור הישר y=1 ונקבל ש

f(x,1)=

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=32108