הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 88: שורה 88:
  
 
כעת נעבור לציר <math>x</math>.
 
כעת נעבור לציר <math>x</math>.
 +
 +
כלומר נחקור נקודות מהצורה <math>(x_0,0)</math>.
 +
 +
אם <math>x_0>1</math> אז קיימת סביבה של <math>(x_0,0)</math> שבה <math>1-x-y<0</math> ולכן באותה סביבה מתקיים ש
 +
 +
<math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>f(x_0,0)=0</math> היא נקודת מקסימום.
 +
 +
אם <math>0<x_0<1</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\geq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מינימום
 +
 +
אם <math>x<0</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מקסימום.
 +
 +
כבר ראינו שהנקודה <math>(0,0)</math> היא נקודת אוכף (היא על ציר <math>y</math>).
 +
 +
נותר לבדוק את הנקודה <math>(1,0)</math>.
 +
 +
נתקדם לאורך הישר <math>x=1</math> ונקבל <math>f(1,y)=-y^3</math> שזאת פונקציה עם נקודת פיתול ב <math>y=0</math>.
 +
 +
לכן <math>(1,0)</math> היא נקודת אוכף.
 +
 +
לסיכום:
 +
 +
נקודות קריטיות:
 +
 +
<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
 +
 +
מתוכן:
 +
 +
מקסימום:
 +
 +
<math>\{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}\cup \{(x,0)\mid x>1 \or x<0\}</math>
 +
 +
מינימום:
 +
 +
<math>\{(x,0)\mid 0<x<1\}</math>
 +
 +
אוכף:
 +
 +
<math>\{(0,y)\}\cup\{(1,0)\}</math>

גרסה מ־07:52, 8 בפברואר 2013


f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3

הגרדיאנט הוא:

\nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2)

אם נשווה אותו ל (0,0) ונקבל:

3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0

2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0

נקבל שאם x=0 או y=0 שתי המשוואות מתקיימות.

אם x\neq 0 ,\quad y\neq 0, נקבל שהמשוואות הן:

3-4x-3y=0

2-2x-3y=0

הפתרון של המערכת הזאת הוא:

(\frac{1}{2},\frac{1}{3})

ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:

\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}

עכשיו צריך לסווג

מטריצת ההסיאן היא: \begin{bmatrix} 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y \end{bmatrix}


כמובן שהצבה של x=0 או y=0 לא תקדם אותנו יותר מדי.

אם נציב (\frac{1}{2},\frac{1}{3}) נקבל (אם אין לי טעות חישוב): \begin{bmatrix} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}


המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.

עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.

נתחיל בנקודות שעל ציר y.

נביט על נקודה כלשהיא (0,y_0).

אם נתקדם לאורך הישר y=-x+y_0 (שעובר כמובן ב (0,y_0)).

אז

f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)

אם y_0>1 אז הפונקציה שלנו שלילית כש x>0 וחיובית כש x<0

אם y_0<1 אז הפונקציה שלנו חיובית כש x>0 ושלילית כש x<0

בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.

נותר לבדוק את הנקודה (0,1).

אם נתקדם לאורך הישר y=1 נקבל ש

f(x,1)=-x^4 ולכן x=0 היא מקסימום לאורך הקו הזה.

אבל אם נתקדם לאורך הישר y=-2x+1 נקבל ש

f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2 נקבל ש x=0 היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.

לכן (0,1) היא גם נקודת אוכף.

סיכום ביניים: כל ציר y הוא נקודות אוכף.

כעת נעבור לציר x.

כלומר נחקור נקודות מהצורה (x_0,0).

אם x_0>1 אז קיימת סביבה של (x_0,0) שבה 1-x-y<0 ולכן באותה סביבה מתקיים ש

x^3y^2(1-x-y)\leq 0 ולכן f(x_0,0)=0 היא נקודת מקסימום.

אם 0<x_0<1 אז קיימת סביבה שבה 1-x-y>0 ואז x^3y^2(1-x-y)\geq 0 ולכן (x_0,0) היא מינימום

אם x<0 אז קיימת סביבה שבה 1-x-y>0 ואז x^3y^2(1-x-y)\leq 0 ולכן (x_0,0) היא מקסימום.

כבר ראינו שהנקודה (0,0) היא נקודת אוכף (היא על ציר y).

נותר לבדוק את הנקודה (1,0).

נתקדם לאורך הישר x=1 ונקבל f(1,y)=-y^3 שזאת פונקציה עם נקודת פיתול ב y=0.

לכן (1,0) היא נקודת אוכף.

לסיכום:

נקודות קריטיות:

\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}

מתוכן:

מקסימום:

\{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}\cup \{(x,0)\mid x>1 \or x<0\}

מינימום:

\{(x,0)\mid 0<x<1\}

אוכף:

\{(0,y)\}\cup\{(1,0)\}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=32153