הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

גרסה מ־09:03, 8 בפברואר 2013

דבר ראשון, בשביל בהירות. נסמן

$u=\frac{x}{x^2+y^2},\quad v= \frac{y}{x^2+y^2}$

כך שלמעשה ידוע $f_uu+f_vv = 0$ וצריך להוכיח $g_xx+g_yy = 0$ .

נכתוב את הביטויים $g_xx,g_yy$

$g_x=f_uu_x+f_vv_x$

ולכן

$g_{xx}= (f_uu_x)_x+(f_vv_x)_x=(f_u)_xu_x+f_uu_{xx}+(f_v)_xv_x+f_vv_{xx}$

$=(f_{uu}u_x+f_{uv}v_x)u_x+f_uu_{xx}+(f_{vu}u_x+f_{vv}v_x)v_x+f_vv_{xx}$

$= f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}$

באופן דומה

$g_{yy}=f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy}$

לכן צריך לחשב את

$f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}+f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy}$

נקבץ את הביטוי בצורה הבאה:

$(f_{uu}(u_x)^2+f_{uu}(u_y)^2+f_{vv}(v_x)^2+f_{vv}(v_y)^2)+(2f_{uv}u_xv_x+2f_{uv}u_yv_y)+(f_uu_{xx}+f_uu_{yy}+f_vv_{xx}+f_vv_{yy})$

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 ==שאלה 2==
+דבר ראשון, בשביל בהירות. נסמן
+<math>u=\frac{x}{x^2+y^2},\quad v=  \frac{y}{x^2+y^2}</math>
+כך שלמעשה ידוע <math>f_uu+f_vv = 0</math> וצריך להוכיח <math>g_xx+g_yy = 0</math>.
+נכתוב את הביטויים <math>g_xx,g_yy</math>
+<math>g_x=f_uu_x+f_vv_x</math>
+ולכן
+<math>g_{xx}= (f_uu_x)_x+(f_vv_x)_x=(f_u)_xu_x+f_uu_{xx}+(f_v)_xv_x+f_vv_{xx}</math>
+<math>=(f_{uu}u_x+f_{uv}v_x)u_x+f_uu_{xx}+(f_{vu}u_x+f_{vv}v_x)v_x+f_vv_{xx}</math>
+<math>= f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}</math>
+באופן דומה
+<math>g_{yy}=f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy}</math>
+לכן צריך לחשב את
+<math>f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}+f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy}</math>
+נקבץ את הביטוי בצורה הבאה:
+<math>(f_{uu}(u_x)^2+f_{uu}(u_y)^2+f_{vv}(v_x)^2+f_{vv}(v_y)^2)+(2f_{uv}u_xv_x+2f_{uv}u_yv_y)+(f_uu_{xx}+f_uu_{yy}+f_vv_{xx}+f_vv_{yy})</math>