הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סעיף א)
שורה 4: שורה 4:
 
==שאלה 5==
 
==שאלה 5==
 
===סעיף א===
 
===סעיף א===
 +
 +
 +
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
 +
 +
אם מחליפים
 +
 +
<math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math>
 +
 +
אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math>
 +
 +
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>.
 +
 +
זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math>
 +
 +
בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math>
 +
 +
 +
ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}</math> ולא <math>[0,2\pi]</math>
 +
 +
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y =  \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
 +
=
 +
\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
 +
\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
 +
</math>
 +
 +
<math>=
 +
\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
 +
\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
 +
 +
=
 +
 +
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+
 +
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r
 +
</math>

גרסה מ־19:56, 9 בפברואר 2013


שאלה 5

סעיף א

זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.

אם מחליפים

x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta

אז נקבל שהתחום החדש הוא a\leq r\leq b ו 0\leq\theta \leq 2\pi

הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש \arctan(\frac{y}{x})=\theta.

זה נכון רק כש -\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}

בתחום \frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2} מתקיים דווקא \theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi


ולכן נעדיף ש \theta יהיה בתחום [-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} ולא [0,2\pi]

\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r

= \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=32168