הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סעיף א)
(←‏שאלה 5)
שורה 5: שורה 5:
 
===סעיף א===
 
===סעיף א===
  
 +
דרך א' לפתרון:
 +
 +
היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>.
 +
 +
דרך ב', חישוב:
  
 
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
 
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
שורה 21: שורה 26:
  
  
−
ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}</math> ולא <math>[0,2\pi]</math>
+
ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math>
  
 
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y =  \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
 
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y =  \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
שורה 37: שורה 42:
 
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+
 
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+
 
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r
 
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r
 +
=0+0=0
 
</math>
 
</math>

גרסה מ־16:48, 10 בפברואר 2013


שאלה 5

סעיף א

דרך א' לפתרון:

היות ו \arctan(\frac{y}{x}) היא פונקציה אי זוגית לפי y (או x) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל y (או x) אז האינטגרל הוא 0.

דרך ב', חישוב:

זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.

אם מחליפים

x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta

אז נקבל שהתחום החדש הוא a\leq r\leq b ו 0\leq\theta \leq 2\pi

הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש \arctan(\frac{y}{x})=\theta.

זה נכון רק כש -\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}

בתחום \frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2} מתקיים דווקא \theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi


ולכן נעדיף ש \theta יהיה בתחום [-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] ולא [0,2\pi]

\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r

= \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r =0+0=0

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=32188