הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה 5)
(←‏שאלה 5)
שורה 1: שורה 1:
 +
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
 +
 +
 
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
 
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
  
שורה 8: שורה 11:
 
כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.
 
כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.
  
−
במקרה שלנו <math>\cos(\theta)</math>  היא חיובית כאשר <math>0\geq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר  
+
במקרה שלנו <math>\cos(\theta)</math>  היא חיובית כאשר <math>0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר  
−
<math>\frac{3\pi}{2} \geq\theta 2\pi </math>
+
<math>\frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi </math>
−
ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\geq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math>
+
ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math>
  
 
כלומר
 
כלומר
  
−
<math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
+
<math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y
 +
= \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
 +
-\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
 +
+\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
 +
 
 +
האינטגרל הראשון הוא:
 +
 
 +
<math> \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
 +
= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x
 +
= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
 
 +
<math>= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x
 +
= x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1</math>
 +
 
 +
באופן דומה האינטגרל השלישי הוא:
 +
 
 +
<math> \iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
 +
= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
 +
= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
=
 +
</math>

גרסה מ־05:51, 12 בפברואר 2013



שאלה 5

סעיף א

כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.

במקרה שלנו \cos(\theta) היא חיובית כאשר 0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2} וכאשר \frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi ושלילית כאשר \frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}

כלומר

\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y -\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y +\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y

האינטגרל הראשון הוא:

\iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x

= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x = x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1

באופן דומה האינטגרל השלישי הוא:

\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x

=

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=32219