|
|
| (24 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| − | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
| + | לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה. |
| | | | |
| | | | |
| − | <math>f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3</math>
| + | לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים) |
| − | | + | |
| − | הגרדיאנט הוא:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2)</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | אם נשווה אותו ל <math>(0,0)</math> ונקבל:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | נקבל שאם <math>x=0</math> או <math>y=0</math> שתי המשוואות מתקיימות.
| + | |
| − | | + | |
| − | אם <math>x\neq 0 ,\quad y\neq 0</math>, נקבל שהמשוואות הן:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>3-4x-3y=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>2-2x-3y=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | הפתרון של המערכת הזאת הוא:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | עכשיו צריך לסווג
| + | |
| − | | + | |
| − | מטריצת ההסיאן היא:
| + | |
| − | <math>\begin{bmatrix}
| + | |
| − | 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\
| + | |
| − | 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y
| + | |
| − | \end{bmatrix}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי.
| + | |
| − | | + | |
| − | אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
| + | |
| − | <math>\begin{bmatrix}
| + | |
| − | \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\
| + | |
| − | \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}
| + | |
| − | \end{bmatrix}
| + | |
| − | =
| + | |
| − | \begin{bmatrix}
| + | |
| − | -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\
| + | |
| − | -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8}
| + | |
| − | \end{bmatrix}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
| + | |
| − | | + | |
| − | עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
| + | |
| − | | + | |
| − | נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>).
| + | |
| − | | + | |
| − | אז
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | אם <math>y_0>1</math> אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | אם <math>y_0<1</math> אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
| + | |
| − | | + | |
| − | נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | אם נתקדם לאורך הישר <math>y=1</math> נקבל ש
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f(x,1)=-x^4</math> ולכן <math>x=0</math> היא מקסימום לאורך הקו הזה.
| + | |
| − | | + | |
| − | אבל אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-2x+1</math> נקבל ש
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2</math> נקבל ש <math>x=0</math> היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.
| + | |
| − | | + | |
| − | לכן <math>(0,1)</math> היא גם נקודת אוכף.
| + | |
| − | | + | |
| − | סיכום ביניים: כל ציר <math>y</math> הוא נקודות אוכף.
| + | |
| − | | + | |
| − | כעת נעבור לציר <math>x</math>.
| + | |
